Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
4. y^{\prime}+y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. A equação dada é
y'+y=e^{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é da forma y'+p(x)y=q(x).
  • O termo p(x) é uma função a identificar.
  • O termo q(x) é a função do lado direito.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) usando o fator integrante.

Passo 2

Conceito do fator integrante e por que funciona (mini-aula). Para uma equação linear de primeira ordem
y'+p(x)y=q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Propriedade chave: \mu'(x)=p(x)\mu(x). Se multiplicarmos a equação original por \mu(x) obtemos
\mu y'+\mu p y=\mu q.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu y, pois
(\mu y)'=\mu'y+\mu y' = p\mu y + \mu y' = \mu y' + \mu p y.
Assim a equação fica
(\mu y)'=\mu q,
que se resolve integrando ambos os lados. Essa é a razão do método: transformar a equação numa derivada de produto simples que se integra facilmente.

Passo 3

Identificar p(x) e q(x) na equação dada. Comparando
y'+y=e^{x}
com y'+p(x)y=q(x), temos
p(x)=1,\qquad q(x)=e^{x}.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Usando a definição:
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Confirmei que \mu'(x)=e^{x}=p(x)\mu(x), como esperado.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x}. Fazendo isso:
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\cdot e^{x} = e^{2x}.
Pelo passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y. Assim:
\bigl(e^{x}y\bigr)' = e^{2x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{x}y\bigr)'\,dx = \int e^{2x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é e^{x}y. A integral do lado direito é
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração. Portanto:
e^{x}y = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Passo 7

Isolar y. Dividindo ambos os lados por e^{x}:
y = \frac{1}{2}e^{2x}\cdot e^{-x} + C e^{-x} = \frac{1}{2}e^{x} + C e^{-x}.
Aqui \,C\in\mathbb{R}\, é a constante arbitrária que aparece pela integração — ela representa a família de soluções gerais.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): calcular y' e substituir para checar. Tomando
y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+C e^{-x},
temos
y'(x)=\frac{1}{2}e^{x} - C e^{-x}.
Somando y'+y:
y'+y = \biggl(\frac{1}{2}e^{x}-C e^{-x}\biggr) + \biggl(\frac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}\biggr) = e^{x},
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}

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