Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
4.
4.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante
. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é da forma
. - O termo
é uma função a identificar. - O termo
é a função do lado direito. - O objetivo é encontrar a solução geral
usando o fator integrante.
Passo 2
Conceito do fator integrante e por que funciona (mini-aula). Para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
Propriedade chave:
. Se multiplicarmos a equação original por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Assim a equação fica
que se resolve integrando ambos os lados. Essa é a razão do método: transformar a equação numa derivada de produto simples que se integra facilmente.
Passo 3
Identificar
e
na equação dada. Comparando
com
, temos
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Usando a definição:
Confirmei que
, como esperado.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso:
Pelo passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Assim:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
onde
é a constante de integração. Portanto:
Passo 7
Isolar
. Dividindo ambos os lados por
:
Aqui
é a constante arbitrária que aparece pela integração — ela representa a família de soluções gerais.
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): calcular
e substituir para checar. Tomando
temos
Somando
:
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.