6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{\ln y}{y^{3}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\ln y}{y^{3}}\,dy.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é \dfrac{\ln y}{y^{3}}.
  • Implicitamente, como aparece \ln y, o domínio natural é y>0.
  • Devemos usar técnica de substituição ou de integração por partes (escolherei uma delas e explicarei por que).

Passo 2

Qual método usar? Quando aparece um log multiplicando uma potência de y, a técnica mais direta costuma ser integração por partes, porque o log simplifica ao derivar. Vou usar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui devemos escolher u de modo que du seja mais simples que u. Escolho
u = \ln y \quad\text{e}\quad dv = y^{-3}\,dy.
Agora calculemos du e v.

Passo 3

Derivando u e integrando dv:
du = \frac{1}{y}\,dy, \qquad v = \int y^{-3}\,dy.
Calcule a integral de y^{-3}:
\int y^{-3}\,dy = \int y^{-3}\,dy = \frac{y^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}y^{-2}.
Portanto
v = -\frac{1}{2}y^{-2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \frac{\ln y}{y^{3}}\,dy = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \frac{\ln y}{y^{3}}\,dy = \left(\ln y\right)\left(-\frac{1}{2}y^{-2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2}y^{-2}\right)\left(\frac{1}{y}\,dy\right).
Simplificando o integrando do segundo termo:
-\int \left(-\frac{1}{2}y^{-2}\right)\left(\frac{1}{y}\right)dy = +\frac{1}{2}\int y^{-3}\,dy.

Passo 5

Calcule a integral restante \displaystyle \int y^{-3}\,dy, que já fizemos acima:
\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2}y^{-2}.
Então
\frac{1}{2}\int y^{-3}\,dy = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}y^{-2}\right) = -\frac{1}{4}y^{-2}.
Agora junte com o termo uv:
\int \frac{\ln y}{y^{3}}\,dy = -\frac{\ln y}{2}y^{-2} - \frac{1}{4}y^{-2} + C.

Passo 6

Fatorando y^{-2} (opcional) e escrevendo de forma mais compacta:
\int \frac{\ln y}{y^{3}}\,dy = -\frac{\ln y}{2y^{2}} - \frac{1}{4y^{2}} + C = -\frac{2\ln y + 1}{4y^{2}} + C,
onde C é a constante de integração. Lembrete: a expressão está válida para y>0.

Resposta

-\dfrac{\ln y}{2y^{2}} - \dfrac{1}{4y^{2}} + C

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