Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - Implicitamente, como aparece
, o domínio natural é . - Devemos usar técnica de substituição ou de integração por partes (escolherei uma delas e explicarei por que).
Passo 2
Qual método usar? Quando aparece um log multiplicando uma potência de
, a técnica mais direta costuma ser integração por partes, porque o log simplifica ao derivar. Vou usar a fórmula de integração por partes:
Aqui devemos escolher
de modo que
seja mais simples que
. Escolho
Agora calculemos
e
.
Passo 3
Derivando
e integrando
:
Calcule a integral de
:
Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o integrando do segundo termo:
Passo 5
Calcule a integral restante
, que já fizemos acima:
Então
Agora junte com o termo
:
Passo 6
Fatorando
(opcional) e escrevendo de forma mais compacta:
onde
é a constante de integração. Lembrete: a expressão está válida para
.