Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante
. A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está no formato
. - Aqui temos
e . - Precisa-se aplicar o método do fator integrante
.
Passo 2
Breve explicação do método do fator integrante (aula rápida e prática).
- Para a equação linear de primeira ordem
, define-se o fator integrante
- A razão de usar
é que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo se torna a derivada do produto . Isso vem da regra do produto: se é um produto, então
- Como
(porque ), obtemos
- Portanto multiplicando a equação original por
permite integrar diretamente: , e então integrar ambos os lados para achar .
Passo 3
Calcular o fator integrante para o caso específico.
- Aqui
, logo
Passo 4
Multiplicar a equação por
e reconhecer a derivada do produto.
- Multiplicando,
- O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
- Assim podemos reescrever a equação como
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter
.
- Integramos em
:
onde
é a constante de integração.
- Calcular a integral
por partes. Escolha
Então
- Aplicando a fórmula de integração por partes
:
- E
. Portanto
- Substituindo na expressão para
(absorvendo constantes numa única ):
Passo 6
Isolar
e simplificar a solução geral; verificação rápida.
- Multiplicando ambos os lados por
,
- Podemos escrever de forma mais limpa:
onde
é uma constante arbitrária real.
- Verificação rápida: calcular
:
Substituindo em
:
que bate com o lado direito da equação original — solução conferida.
Resposta
onde
é constante arbitrária.