Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
3. y^{\prime}-y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. A equação dada é
y' - y = x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está no formato \,y' + p(x)\,y = q(x)\,.
  • Aqui temos \,p(x) = -1\, e \,q(x) = x\,.
  • Precisa-se aplicar o método do fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.

Passo 2

Breve explicação do método do fator integrante (aula rápida e prática).
  • Para a equação linear de primeira ordem \,y' + p(x)\,y = q(x)\,, define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • A razão de usar \mu é que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)\,y(x). Isso vem da regra do produto: se \mu y é um produto, então
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y' + \mu' y.
  • Como \mu' = \mu\,p(x) (porque \mu = e^{\int p}), obtemos
\mu y' + \mu p(x) y = \frac{d}{dx}\big(\mu y\big).
  • Portanto multiplicando a equação original por \mu permite integrar diretamente: \dfrac{d}{dx}(\mu y) = \mu q(x), e então integrar ambos os lados para achar y.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o caso específico.
  • Aqui \,p(x)=-1\,, logo
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(x)=e^{-x} e reconhecer a derivada do produto.
  • Multiplicando,
e^{-x}y' - e^{-x}y = x e^{-x}.
  • O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-x}y, porque
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}y' + (e^{-x})'y = e^{-x}y' - e^{-x}y.
  • Assim podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=x e^{-x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter e^{-x}y.
  • Integramos em x:
e^{-x}y = \int x e^{-x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
  • Calcular a integral \int x e^{-x}\,dx por partes. Escolha
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
  • Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x e^{-x}\,dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
  • E \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}. Portanto
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C_1 = -(x+1)e^{-x} + C_1.
  • Substituindo na expressão para e^{-x}y (absorvendo constantes numa única C):
e^{-x}y = -(x+1)e^{-x} + C.

Passo 6

Isolar y e simplificar a solução geral; verificação rápida.
  • Multiplicando ambos os lados por e^{x},
y = -(x+1) + C e^{x}.
  • Podemos escrever de forma mais limpa:
y = C e^{x} - x - 1,
onde C é uma constante arbitrária real.
  • Verificação rápida: calcular y':
y' = C e^{x} - 1.
Substituindo em \,y' - y\,:
y' - y = (C e^{x} - 1) - (C e^{x} - x - 1) = x,
que bate com o lado direito da equação original — solução conferida.

Resposta

y = C e^{x} - x - 1
onde C é constante arbitrária.

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