Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
2.
2.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
Pede para resolver usando o fator integrante
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está no formato
. - Aqui
(constante) e (constante). - O objetivo é encontrar a solução geral
.
Passo 2
Vamos relembrar e explicar por que o fator integrante funciona. Para uma equação da forma
definimos o fator integrante
A razão é a seguinte: usando a regra do produto, a derivada de
é
Se
for escolhido de modo que
, então
E isso é exatamente o lado esquerdo da equação original multiplicada por
. Por isso multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo numa derivada exata
, que é fácil de integrar.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como
,
Aqui usei que a primitiva de
é
, logo a exponencial dá
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. No lado direito, calculamos a integral:
Incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação. Podemos interpretar
como uma solução particular (estado estacionário) e
como a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): calcule
. Então
confirmando que a solução está correta.