Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
2. y^{\prime}+2 y=4

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
y'+2y=4.
Pede para resolver usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está no formato y'+p(x)y=q(x).
  • Aqui p(x)=2 (constante) e q(x)=4 (constante).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Vamos relembrar e explicar por que o fator integrante funciona. Para uma equação da forma
y'+p(x)y=q(x),
definimos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A razão é a seguinte: usando a regra do produto, a derivada de \mu(x)y(x) é
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y.
Se \mu for escolhido de modo que \mu'=\mu p(x), então
(\mu y)'=\mu y'+\mu p(x) y=\mu\bigl(y'+p(x)y\bigr).
E isso é exatamente o lado esquerdo da equação original multiplicada por \mu. Por isso multiplicar a equação por \mu transforma o lado esquerdo numa derivada exata (\mu y)', que é fácil de integrar.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como p(x)=2,
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Aqui usei que a primitiva de 2 é 2x, logo a exponencial dá \mu(x)=e^{2x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{2x}:
e^{2x}y'+2e^{2x}y=4e^{2x}.
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{2x}y\bigr)'=4e^{2x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{2x}y\bigr)'\,dx=\int 4e^{2x}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{2x}y. No lado direito, calculamos a integral:
\int 4e^{2x}\,dx = 4\int e^{2x}\,dx = 4\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=2e^{2x}.
Incluindo a constante de integração C, obtemos
e^{2x}y=2e^{2x}+C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^{2x}:
y=\frac{2e^{2x}+C}{e^{2x}}=2+Ce^{-2x},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação. Podemos interpretar y(x)=2 como uma solução particular (estado estacionário) e Ce^{-2x} como a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): calcule y'=-2Ce^{-2x}. Então
y'+2y=-2Ce^{-2x}+2\bigl(2+Ce^{-2x}\bigr)=4,
confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=2+Ce^{-2x}, com C\in\mathbb{R}.

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