Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
10.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
ou seja, encontrar a solução geral
. Informações extraídas do enunciado:
- A equação está na forma padrão
com e . - Como aparece
, o ponto é singular; portanto a solução será válida em intervalos onde . - O objetivo é obter a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Apresentando a ideia do método do fator integrante (explicação didática): para uma equação da forma
define-se o fator integrante
A razão dessa escolha é a seguinte: se multiplicarmos a equação por
obtemos
Escolhendo
como acima faz com que o lado esquerdo seja exatamente a derivada do produto
, pois
e
por construção. Assim a equação se torna
, que é fácil de integrar.
Agora calculamos o fator integrante para o nosso caso. Aqui
, então
Usando
(já que o quadrado elimina o sinal), obtemos
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
Simplificando os termos:
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
, pois
Logo a equação fica
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
(mais uma constante que colocaremos do lado direito). A integral do lado direito é
. Portanto
onde
é a constante de integração (constante arbitrária).
Passo 5
Isolando
obtemos a solução geral:
Aqui
é uma constante real arbitrária. Podemos também escrever
se preferir.
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): derivando a solução e substituindo na equação original mostra que ela satisfaz a equação. Para confirmar:
e
Tudo confere.