Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
10. y^{\prime}+\frac{2}{x} y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + \frac{2}{x}\,y = x,
ou seja, encontrar a solução geral y(x). Informações extraídas do enunciado:
  • A equação está na forma padrão y'+p(x)y=q(x) com p(x)=\dfrac{2}{x} e q(x)=x.
  • Como aparece \dfrac{2}{x}, o ponto x=0 é singular; portanto a solução será válida em intervalos onde x\neq0.
  • O objetivo é obter a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Apresentando a ideia do método do fator integrante (explicação didática): para uma equação da forma y'+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A razão dessa escolha é a seguinte: se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu p\, y = \mu q.
Escolhendo \mu como acima faz com que o lado esquerdo seja exatamente a derivada do produto \mu y, pois
(\mu y)'=\mu y' + \mu' y
e \mu'=\mu p por construção. Assim a equação se torna (\mu y)'=\mu q, que é fácil de integrar.
Agora calculamos o fator integrante para o nosso caso. Aqui p(x)=\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}\,dx}=e^{2\ln|x|}.
Usando e^{2\ln|x|}=(e^{\ln|x|})^{2}=|x|^{2}=x^{2} (já que o quadrado elimina o sinal), obtemos
\mu(x)=x^{2},\qquad x\neq0.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{2}. Isso dá
x^{2}y' + x^{2}\cdot\frac{2}{x}y = x^{2}\cdot x.
Simplificando os termos:
x^{2}y' + 2x y = x^{3}.
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto x^{2}y, pois
(x^{2}y)' = 2x y + x^{2} y'.
Logo a equação fica
(x^{2}y)' = x^{3}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (x^{2}y)'\,dx = \int x^{3}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x^{2}y (mais uma constante que colocaremos do lado direito). A integral do lado direito é \dfrac{x^{4}}{4}. Portanto
x^{2}y = \frac{x^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração (constante arbitrária).

Passo 5

Isolando y obtemos a solução geral:
y = \frac{x^{4}}{4x^{2}} + \frac{C}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{x^{2}},\qquad x\neq0.
Aqui C é uma constante real arbitrária. Podemos também escrever y=\dfrac{x^{2}}{4}+C x^{-2} se preferir.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): derivando a solução e substituindo na equação original mostra que ela satisfaz a equação. Para confirmar:
y'=\frac{x}{2}-2C x^{-3},
e
y'+\frac{2}{x}y=\left(\frac{x}{2}-2C x^{-3}\right)+\frac{2}{x}\left(\frac{x^{2}}{4}+C x^{-2}\right)=\frac{x}{2}-2C x^{-3}+\frac{x}{2}+2C x^{-3}=x.
Tudo confere.

Resposta

y=\frac{x^{2}}{4}+\frac{C}{x^{2}},\qquad x\neq0

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