Resolva usando o método adequado:
x \frac{d y}{d x}+y=2 x, \quad y(1)=0.
x \frac{d y}{d x}+y=2 x, \quad y(1)=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo é Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem e linear em , e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.
O conteúdo é Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem e linear em
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
dividindo tudo por
(válido para
).
Passo 3
Calculamos o fator integrante
a partir de
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
, obtendo
cujo lado esquerdo é exatamente a derivada de
. Logo,
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Substituindo em
, temos