Resolva usando o método adequado:
x \frac{d y}{d x}+y=2 x, \quad y(1)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx} + y = 2x,
com condição inicial y(1)=0.
O conteúdo é Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem e linear em y, e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = 2,
dividindo tudo por x (válido para x\neq0).

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) a partir de
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(\ln|x|) = x.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x, obtendo
x\frac{dy}{dx} + y = 2x,
cujo lado esquerdo é exatamente a derivada de \mu(x)\,y = x\,y. Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = 2x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr)\,dx = \int 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,y = x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y = \frac{x^2 + C}{x} = x + \frac{C}{x}.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0 = 1 + \frac{C}{1} \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Substituindo em y, temos
y = x - \frac{1}{x}.

Resposta

y(x) = x - \frac{1}{x}.

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