Resolva usando o método adequado:
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x y^{2};

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = x\,y^{2},
que é da forma de Bernoulli
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n} \quad\text{com}\quad P(x)=\frac{1}{x},\; Q(x)=x,\; n=2.
Vamos usar a transformação de Bernoulli para reduzir a um caso linear.

Passo 2

Definimos
u = y^{1-n} = y^{-1}.
Então
\frac{du}{dx} = -\,y^{-2}\,\frac{dy}{dx}.
Como \frac{dy}{dx}=x\,y^{2}-\frac{1}{x}y, substituímos:
\frac{du}{dx} = -\bigl(x\,y^{2}-\tfrac{1}{x}y\bigr)\,y^{-2} = -x + \frac{1}{x}\,y^{-1} = -x + \frac{u}{x}.
Reorganizando, obtemos a equação linear em u:
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}\,u = -\,x.

Passo 3

Para resolver
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}\,u = -\,x,
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-\ln|x|) = \frac{1}{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x):
\frac{1}{x}\,\frac{du}{dx} - \frac{1}{x^{2}}\,u = -1,
que é equivalente a
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{x}\Bigr) = -1.
Integrando em x:
\frac{u}{x} = -\,x + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u = -\,x^{2} + C\,x.

Passo 4

Voltando à variável original, u = y^{-1}, temos
\frac{1}{y} = -\,x^{2} + C\,x,
logo
y(x) = \frac{1}{-\,x^{2} + C\,x}.
Podemos reescrever a constante geral como \tilde C = -C, obtendo a forma mais comum
y(x)=\frac{1}{x^{2} + \tilde C\,x}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(x) = \frac{1}{x^{2} + C\,x}, }
onde C é constante arbitrária.

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