Resolva usando o método adequado:
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x y^{2};
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x y^{2};
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é da forma de Bernoulli
Vamos usar a transformação de Bernoulli para reduzir a um caso linear.
Passo 2
Definimos
Então
Como
, substituímos:
Reorganizando, obtemos a equação linear em
:
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
:
que é equivalente a
Integrando em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 4
Voltando à variável original,
, temos
logo
Podemos reescrever a constante geral como
, obtendo a forma mais comum
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária.