Verifique se as equações são exatas e as resolva.
\left(3 y^{2}-x^{2}+1\right) d x+(2 x y) d y=0, x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(3y^{2}-x^{2}+1\bigr)\,dx + \bigl(2xy\bigr)\,dy = 0,\quad x>0
e pede para verificar se é exata e, em caso negativo, encontrar um fator integrante e resolver. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante dependente apenas de x.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 3y^{2}-x^{2}+1, \quad N(x,y) = 2xy.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 6y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x) tal que \mu M\,dx + \mu N\,dy seja exata. Verificamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{6y-2y}{2xy} = \frac{4y}{2xy} = \frac{2}{x},
que depende só de x. Logo
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(2\ln x\bigr) = x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^{2}, obtendo
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0,
com
M^*(x,y) = x^{2}(3y^{2}-x^{2}+1) = 3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2}, \quad N^*(x,y) = x^{2}\cdot2xy = 2x^{3}y.
Agora \partial M^*/\partial y = 6x^{2}y e \partial N^*/\partial x = 6x^{2}y, ou seja, é exata.
Procuramos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M^*(x,y).
Integramos em relação a x:
\Psi(x,y) = \int \bigl(3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2}\bigr)\,dx = x^{3}y^{2} - \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} + h(y).
Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2x^{3}y + h'(y) \stackrel{!}{=} N^*(x,y) = 2x^{3}y,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral está dada implicitamente por
\Psi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad x^{3}y^{2} - \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução implícita, para x>0, é
x^{3}y^{2} - \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} = C.

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