Verifique se as equações são exatas e as resolva.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se é exata e, em caso negativo, encontrar um fator integrante e resolver. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante dependente apenas de
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
tal que
seja exata. Verificamos
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
com
Agora
e
, ou seja, é exata.
Procuramos uma função potencial tal que
Procuramos uma função potencial
Integramos em relação a
:
Para determinar
, usamos
logo
e
é constante.
Passo 5
A solução geral está dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução implícita, para
, é