Resolva usando o método adequado:
-2 t y \sin \left(t^{2}\right) d t+\cos \left(t^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
-2\,t\,y\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt \;+\;\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dy \;=\;0.
Isso é uma equação de primeira ordem no formato
M(t,y)\,dt + N(t,y)\,dy = 0,
onde vamos verificar se ela é exata. Se for, encontraremos uma função potencial \Phi(t,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N.

Passo 2

Identificamos
M(t,y) = -2\,t\,y\,\sin\bigl(t^{2}\bigr), \quad N(t,y) = \cos\bigl(t^{2}\bigr).
Agora calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -2\,t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr), \quad \frac{\partial N}{\partial t} = \frac{d}{dt}\bigl[\cos(t^{2})\bigr] = -\sin\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t = -2\,t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial t, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(t,y) tal que \Phi_{t} = M. Integramos M em relação a t, tratando y como constante:
\Phi(t,y) = \int -2\,t\,y\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt = -y \int 2\,t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Fazendo a substituição u = t^{2}, du = 2t\,dt, obtemos
\Phi(t,y) = -y \bigl[-\cos(u)\bigr]_{u=t^{2}} + h(y) = y\,\cos\bigl(t^{2}\bigr) + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo \Phi_{y} = N, calculamos
\Phi_{y}(t,y) = \cos\bigl(t^{2}\bigr) + h'(y)
e igualamos a N(t,y)=\cos(t^{2}). Assim
\cos\bigl(t^{2}\bigr) + h'(y) = \cos\bigl(t^{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\text{constante}.

Passo 5

A função potencial geral é
\Phi(t,y) = y\,\cos\bigl(t^{2}\bigr) + C,
onde C é constante arbitrária. A solução implícita da equação diferencial é
\Phi(t,y) = \text{constante} \quad\Longrightarrow\quad y\,\cos\bigl(t^{2}\bigr) = C_{1}.

Resposta

y\,\cos\bigl(t^{2}\bigr) = C.

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