Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
Enunciado e dados que temos (o que o problema pede):
- Resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados.
- Informação útil dada pelo enunciado:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau
: . - Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada (primeiro passo padrão). A equação homogênea é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Usando a fórmula quadrática:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher a forma do particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Regra prática: quando o lado direito é um polinômio de grau , tenta-se um polinômio de grau
como ansatz, a menos que haja ressonância (ou seja,
seja raiz da característica). Aqui o lado direito é um polinômio de grau
, e a raiz
não é solução da característica (porque
em
vale
), logo não há ressonância. Assim tentamos
Regra prática: quando o lado direito é um polinômio de grau
onde
são coeficientes desconhecidos a determinar.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para encontrar
.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
obtemos
Agrupando por potências de
:
Passo 5
Igualar os coeficientes do lado esquerdo com os do termo forçante
Resolver cada equação:
- Da primeira:
na segunda:
- Substituindoe na terceira:
Portanto os coeficientes são
,
,
. Assim
Passo 6
Montar a solução geral somando a homogênea e a particular. A solução geral da equação dada é
Pode-se verificar rapidamente (substituindo
na equação) que os coeficientes confirmam o lado direito
. Como não há condições iniciais, deixam-se
e
livres.