Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}+4 \dot{x}-2 x=2 t^{2}-3 t+6

Passo 1

Enunciado e dados que temos (o que o problema pede):
  • Resolver a equação diferencial
\ddot{x}+4\dot{x}-2x=2t^{2}-3t+6
usando o método dos coeficientes indeterminados.
  • Informação útil dada pelo enunciado:
    • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
    • O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau 2: 2t^{2}-3t+6.
    • Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada (primeiro passo padrão). A equação homogênea é
\ddot{x}+4\dot{x}-2x=0.
Procuramos soluções do tipo \mathrm{e}^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+4r-2=0.
Usando a fórmula quadrática:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+8}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}=-2\pm\sqrt{6}.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\,\mathrm{e}^{(-2+\sqrt{6})t}+C_{2}\,\mathrm{e}^{(-2-\sqrt{6})t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher a forma do particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Regra prática: quando o lado direito é um polinômio de grau n, tenta-se um polinômio de grau n como ansatz, a menos que haja ressonância (ou seja, 0 seja raiz da característica). Aqui o lado direito é um polinômio de grau 2, e a raiz r=0 não é solução da característica (porque r^{2}+4r-2 em r=0 vale -2\neq0), logo não há ressonância. Assim tentamos
x_{p}(t)=a t^{2}+b t+c,
onde a,b,c são coeficientes desconhecidos a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de x_{p} e substituir na equação para encontrar a,b,c.
Derivadas:
\dot{x}_{p}(t)=2a t+b,\qquad \ddot{x}_{p}(t)=2a.
Substituindo em \ddot{x}+4\dot{x}-2x obtemos
\begin{aligned} \ddot{x}_{p}+4\dot{x}_{p}-2x_{p} &=2a+4(2a t+b)-2(at^{2}+bt+c)\\[4pt] &=2a+8a t+4b-2a t^{2}-2b t-2c. \end{aligned}
Agrupando por potências de t:
\ddot{x}_{p}+4\dot{x}_{p}-2x_{p}=(-2a)\,t^{2}+(8a-2b)\,t+(2a+4b-2c).]

Passo 5

Igualar os coeficientes do lado esquerdo com os do termo forçante 2t^{2}-3t+6\). Assim \[\begin{cases} -2a=2,\\[4pt] 8a-2b=-3,\\[4pt] 2a+4b-2c=6. \end{cases}
Resolver cada equação:
  • Da primeira: -2a=2\Rightarrow a=-1\]. - Substituindo \(a=-1 na segunda: 8(-1)-2b=-3\Rightarrow -8-2b=-3\Rightarrow -2b=5\Rightarrow b=-\dfrac{5}{2}.
    - Substituindo a=-1 e b=-\dfrac{5}{2} na terceira:
2(-1)+4\left(-\tfrac{5}{2}\right)-2c=6
-2-10-2c=6\Rightarrow -12-2c=6\Rightarrow -2c=18\Rightarrow c=-9.
Portanto os coeficientes são a=-1, b=-\dfrac{5}{2}, c=-9. Assim
x_{p}(t)=-t^{2}-\tfrac{5}{2}t-9.]

Passo 6

Montar a solução geral somando a homogênea e a particular. A solução geral da equação dada é
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\,\mathrm{e}^{(-2+\sqrt{6})t}+C_{2}\,\mathrm{e}^{(-2-\sqrt{6})t}-t^{2}-\tfrac{5}{2}t-9.
Pode-se verificar rapidamente (substituindo x_{p} na equação) que os coeficientes confirmam o lado direito 2t^{2}-3t+6. Como não há condições iniciais, deixam-se C_{1} e C_{2} livres.

Resposta

x(t)=C_{1}\,\mathrm{e}^{(-2+\sqrt{6})t}+C_{2}\,\mathrm{e}^{(-2-\sqrt{6})t}-t^{2}-\dfrac{5}{2}t-9

Exercícios relacionados