Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
O que pede: encontrar a solução geral
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- É uma EDO linear não homogênea de segunda ordem.
- Termo forçante (lado direito) é
. - Coeficientes na equação são constantes (
no e em ).
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada (ou seja, colocando o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
Para resolver, usamos a equação característica: substitui-se
e obtém-se
As raízes são
. Para raízes puramente imaginárias
a solução homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência
. Aqui
, logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora a parte do método dos coeficientes indeterminados: para achar uma solução particular
que satisfaça
fazemos um palpite (ansatz) para
com parâmetros a determinar. Regra prática:
- Se o termo forçante fosse algo como
ou e essa frequência não coincidisse com as soluções da homogênea, tomaríamos . - Mas aqui a frequência
aparece na solução homogênea ( ). Isso é ressonância de primeira ordem: o palpite precisa ser multiplicado por . Assim tomamos
onde
e
são constantes a determinar. Explicando: multiplicar por
evita que o palpite fique contido na solução homogênea e permite achar um particular.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Usamos a regra do produto e as derivadas
e
.
Primeira derivada:
Segunda derivada: derivamos cada termo novamente (novamente produto e cadeia):
Aqui agrupei os termos constantes (vindos da derivada das partes sem
e da derivada do primeiro fator dentro do produto) e o termo multiplicado por
. Somando as duas parcelas idênticas dá:
Passo 5
Agora substituímos
e
na equação
. Calculamos
:
Agora observe os termos com
: dentro dos colchetes temos
somado a
, ou seja, esses termos em
se cancelam. Portanto fica apenas a parte sem
:
Passo 6
Impondo que
seja igual ao lado direito
, obtemos a identidade trigonométrica
Para que isso valha para todo
, os coeficientes de
e
devem coincidir. Igualando termos:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Passo 7
Com
e
encontrados, a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).