Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}+4 x=3 \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
\ddot{x}+4x=3\sin 2t.
O que pede: encontrar a solução geral x(t) usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma EDO linear não homogênea de segunda ordem.
  • Termo forçante (lado direito) é 3\sin 2t.
  • Coeficientes na equação são constantes ( 1 no \ddot{x} e 4 em x).

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada (ou seja, colocando o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
\ddot{x}+4x=0.
Para resolver, usamos a equação característica: substitui-se x(t)=e^{rt} e obtém-se
r^{2}+4=0.
As raízes são r=\pm 2\mathrm{i}. Para raízes puramente imaginárias \pm \mathrm{i}\omega a solução homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência \omega. Aqui \omega=2, logo a solução homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\cos 2t + C_{2}\sin 2t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora a parte do método dos coeficientes indeterminados: para achar uma solução particular x_{p}(t) que satisfaça
\ddot{x}_{p}+4x_{p}=3\sin 2t,
fazemos um palpite (ansatz) para x_{p} com parâmetros a determinar. Regra prática:
  • Se o termo forçante fosse algo como \sin(2t) ou \cos(2t) e essa frequência não coincidisse com as soluções da homogênea, tomaríamos x_{p}=A\cos 2t + B\sin 2t.
  • Mas aqui a frequência 2 aparece na solução homogênea ( \cos 2t,\sin 2t). Isso é ressonância de primeira ordem: o palpite precisa ser multiplicado por t. Assim tomamos
x_{p}(t)=t\bigl(A\cos 2t + B\sin 2t\bigr),
onde A e B são constantes a determinar. Explicando: multiplicar por t evita que o palpite fique contido na solução homogênea e permite achar um particular.

Passo 4

Calculamos as derivadas de x_{p}. Usamos a regra do produto e as derivadas \dfrac{d}{dt}\cos2t=-2\sin2t e \dfrac{d}{dt}\sin2t=2\cos2t.
Primeira derivada:
x_{p}'(t)=A\cos2t + B\sin2t + t\bigl(-2A\sin2t + 2B\cos2t\bigr).
Segunda derivada: derivamos cada termo novamente (novamente produto e cadeia):
x_{p}''(t) = (-2A\sin2t + 2B\cos2t) + ( -2A\sin2t + 2B\cos2t) + t\bigl(-4A\cos2t -4B\sin2t\bigr).
Aqui agrupei os termos constantes (vindos da derivada das partes sem t e da derivada do primeiro fator dentro do produto) e o termo multiplicado por t. Somando as duas parcelas idênticas dá:
x_{p}''(t) = -4A\sin2t + 4B\cos2t + t\bigl(-4A\cos2t -4B\sin2t\bigr).

Passo 5

Agora substituímos x_{p} e x_{p}'' na equação \ddot{x}+4x. Calculamos \ddot{x}_{p}+4x_{p}:
\begin{aligned} \ddot{x}_{p}+4x_{p} &= \bigl(-4A\sin2t + 4B\cos2t + t(-4A\cos2t -4B\sin2t)\bigr) \\\ &\quad + 4\,t\bigl(A\cos2t + B\sin2t\bigr). \end{aligned}
Agora observe os termos com t: dentro dos colchetes temos -4A\cos2t -4B\sin2t somado a 4A\cos2t +4B\sin2t, ou seja, esses termos em t se cancelam. Portanto fica apenas a parte sem t:
\ddot{x}_{p}+4x_{p} = -4A\sin2t + 4B\cos2t.

Passo 6

Impondo que \ddot{x}_{p}+4x_{p} seja igual ao lado direito 3\sin2t, obtemos a identidade trigonométrica
-4A\sin2t + 4B\cos2t = 3\sin2t.
Para que isso valha para todo t, os coeficientes de \sin2t e \cos2t devem coincidir. Igualando termos:
  • Coeficiente de \cos2t: 4B = 0 \Rightarrow B=0.
  • Coeficiente de \sin2t: -4A = 3 \Rightarrow A = -\dfrac{3}{4}.

Passo 7

Com A e B encontrados, a solução particular é
x_{p}(t)=t\Bigl(-\dfrac{3}{4}\cos2t + 0\cdot\sin2t\Bigr) = -\dfrac{3}{4}\,t\cos2t.

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cos2t + C_{2}\sin2t - \dfrac{3}{4}\,t\cos2t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).

Resposta

x(t)=C_{1}\cos2t + C_{2}\sin2t - \dfrac{3}{4}\,t\cos2t

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