Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
4 \ddot{x}+9 x=14

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
4\ddot{x}+9x=14,
onde x é função da variável independente (escolho t, então x=x(t)). O que se pede é resolver essa equação, isto é, encontrar a solução geral x(t) que satisfaça a igualdade para todo t.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Termo não-homogêneo à direita: uma constante 14.
  • Não foram dadas condições iniciais (logo procuramos a solução geral com constantes arbitrárias).

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (colocar o lado direito igual a zero):
4\ddot{x}+9x=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substitui-se \ddot{x} por r^2 e x por 1, obtendo
4r^2+9=0.
Agora resolvemos para r:
4r^2=-9\quad\Rightarrow\quad r^2=-\frac{9}{4}\quad\Rightarrow\quad r=\pm \mathrm{i}\frac{3}{2}.
Explicando: r são os expoentes das soluções do tipo e^{rt}. Quando as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm\mathrm{i}\beta, a solução geral da homogênea é
x_h(t)=e^{\alpha t}\!\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Aqui \alpha=0 e \beta=\tfrac{3}{2}, logo
x_h(t)=C_1\cos\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{3}{2}t\big).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular x_p(t) da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Regra prática do método: escolher um “palpite” para x_p(t) com forma semelhante ao termo do lado direito. O lado direito é a constante 14, que é um polinômio de grau 0. Então tentamos um palpite polinomial de grau 0:
x_p(t)=A,
onde A é uma constante a determinar (os “coeficientes indeterminados”).
Antes de substituir, verificamos ressonância: se a forma do palpite estiver contida nas soluções homogêneas, é preciso multiplicar por t. Aqui as soluções homogêneas são combinações de \cos e \sin, que não incluem constantes, logo não há ressonância e podemos usar x_p(t)=A diretamente.

Passo 4

Substituir x_p(t)=A na equação original. Como A é constante, \ddot{x}_p=0. Portanto:
4\cdot 0 + 9A = 14 \quad\Rightarrow\quad 9A=14 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{14}{9}.
Logo uma solução particular é
x_p(t)=\frac{14}{9}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=C_1\cos\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)+\frac{14}{9},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que seriam determinadas se fossem fornecidas condições iniciais.
Um lembrete final (para a prova): ao aplicar o método dos coeficientes indeterminados, sempre escolha o palpite conforme o tipo do termo não-homogêneo (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto deles) e verifique ressonância com a solução homogênea; se houver ressonância, multiplica-se o palpite por potências de t até não haver mais ressonância.

Resposta

x(t)=C_1\cos\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)+\dfrac{14}{9}

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