Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
onde
é função da variável independente (escolho
, então
). O que se pede é resolver essa equação, isto é, encontrar a solução geral
que satisfaça a igualdade para todo
.
Informações relevantes fornecidas:
- Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Termo não-homogêneo à direita: uma constante
. - Não foram dadas condições iniciais (logo procuramos a solução geral com constantes arbitrárias).
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (colocar o lado direito igual a zero):
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substitui-se
por
e
por
, obtendo
Agora resolvemos para
:
Explicando:
são os expoentes das soluções do tipo
. Quando as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. Aqui
e
, logo
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Regra prática do método: escolher um “palpite” para
com forma semelhante ao termo do lado direito. O lado direito é a constante
, que é um polinômio de grau
. Então tentamos um palpite polinomial de grau
:
onde
é uma constante a determinar (os “coeficientes indeterminados”).
Antes de substituir, verificamos ressonância: se a forma do palpite estiver contida nas soluções homogêneas, é preciso multiplicar por
. Aqui as soluções homogêneas são combinações de
e
, que não incluem constantes, logo não há ressonância e podemos usar
diretamente.
Passo 4
Substituir
na equação original. Como
é constante,
. Portanto:
Logo uma solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas se fossem fornecidas condições iniciais.
Um lembrete final (para a prova): ao aplicar o método dos coeficientes indeterminados, sempre escolha o palpite conforme o tipo do termo não-homogêneo (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto deles) e verifique ressonância com a solução homogênea; se houver ressonância, multiplica-se o palpite por potências de
até não haver mais ressonância.