Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}-8 \dot{x}+25 x=5 t^{3} e^{-t}-7 e^{-t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
\ddot{x}-8\dot{x}+25x=5t^{3}e^{-t}-7e^{-t},
e pede a solução geral x(t). As informações relevantes são:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.
  • O segundo membro é uma combinação de termos da forma (polinômio em t) vezes e^{-t}: especificamente 5t^{3}e^{-t} e -7e^{-t}.
  • Foi solicitado usar o método dos coeficientes indeterminados (ou seja: procurar uma solução particular por uma forma com parâmetros a ajustar).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
\ddot{x}-8\dot{x}+25x=0.
Formamos a equação característica
r^{2}-8r+25=0.
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
r=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot1\cdot25}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{64-100}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{8\pm6i}{2}=4\pm3i.
Como as raízes são complexas conjugadas 4\pm3i, a solução geral da homogênea é
x_{h}(t)=e^{4t}\big(C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular x_{p}(t) da equação completa. O segundo membro é
5t^{3}e^{-t}-7e^{-t}=e^{-t}\big(5t^{3}-7\big),
ou seja, e^{-t} multiplicando um polinômio de grau 3. Pelo método dos coeficientes indeterminados, para um termo do tipo e^{\alpha t} vezes polinômio de grau n a tentativa é
x_{p}(t)=e^{\alpha t}\cdot(\text{polinômio de grau }n),ô
multiplicado por t^{m} se \alpha for raiz da característica com multiplicidade m. Aqui \alpha=-1. Verificamos se r=-1 é raiz da característica r^{2}-8r+25: substituindo r=-1 obtém-se 1+8+25=34\neq0. Logo, não há ressonância e não precisamos multiplicar por potências adicionais de t.
Portanto fazemos a tentativa unificada (já que os termos do segundo membro têm o mesmo fator e^{-t}):
x_{p}(t)=e^{-t}p(t),
onde p(t) é um polinômio genérico de grau 3:
p(t)=a t^{3}+b t^{2}+c t+d,
com a,b,c,d coeficientes a determinar.

Passo 4

Vamos calcular \dot{x}_{p} e \ddot{x}_{p} em termos de p, p' e p''. Como x_{p}=e^{-t}p(t), pela regra do produto:
\dot{x}_{p}=e^{-t}(p'(t)-p(t)),
e derivando novamente,
\ddot{x}_{p}=e^{-t}\big(p''(t)-2p'(t)+p(t)\big).
Agora aplicamos o operador linear L[x]=\ddot{x}-8\dot{x}+25x sobre x_{p}:
L[x_{p}] = e^{-t}\big(p''-2p'+p\big) -8e^{-t}\big(p'-p\big) +25 e^{-t}p.
Fatorando e^{-t}:
L[x_{p}]=e^{-t}\big(p''-2p' +p -8p' +8p +25p\big) = e^{-t}\big(p'' -10p' +34 p\big).

Passo 5

Para que x_{p} seja particular da equação, deve valer
L[x_{p}]=e^{-t}\big(p'' -10p' +34 p\big)=5t^{3}e^{-t}-7e^{-t}.
Cancelando o fator e^{-t} (não é zero), obtemos a equação para o polinômio p:
p''(t)-10p'(t)+34p(t)=5t^{3}-7.
Agora substituímos p(t)=a t^{3}+b t^{2}+c t+d e calculamos as derivadas:
p'(t)=3a t^{2}+2b t + c, \qquad p''(t)=6a t + 2b.
Substituindo na equação:
(6a t + 2b) -10(3a t^{2}+2b t + c) +34(a t^{3}+b t^{2}+c t + d)=5t^{3}-7.
Agrupando termos por potências de t:
coeficiente de t^{3}:
34a = 5.
coeficiente de t^{2}:
-30a +34 b = 0.
coeficiente de t^{1}:
6a -20 b +34 c = 0.
coeficiente de t^{0}:
2b -10 c +34 d = -7.

Passo 6

Resolvemos as equações para a,b,c,d passo a passo.
Da primeira equação:
34a=5 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{5}{34}.
Da segunda:
34 b =30 a \quad\Rightarrow\quad b=\frac{30a}{34}=\frac{30}{34}\cdot\frac{5}{34}=\frac{150}{1156}=\frac{75}{578}.
Da terceira:
34 c =20 b -6 a \quad\Rightarrow\quad c=\frac{20b-6a}{34}.
Substituindo a e b:
20b=20\cdot\frac{75}{578}=\frac{1500}{578}, \qquad 6a=6\cdot\frac{5}{34}=\frac{30}{34}=\frac{510}{578}.
Portanto
20b-6a=\frac{1500-510}{578}=\frac{990}{578}=\frac{495}{289},
e então
c=\frac{495}{289}\cdot\frac{1}{34}=\frac{495}{9826}.
Da quarta:
34 d = -7 -2b +10 c \quad\Rightarrow\quad d=\frac{-7 -2b +10c}{34}.
Calculamos 2b e 10c:
2b=2\cdot\frac{75}{578}=\frac{150}{578}=\frac{75}{289}, \qquad 10c=10\cdot\frac{495}{9826}=\frac{4950}{9826}.
Para somar -7 -2b +10c é conveniente colocar tudo em um denominador comum; seguindo os cálculos algébricos obtemos
-7 -2b +10c = -\frac{34391}{4913} + \frac{1200}{4913} = -\frac{33191}{4913},
daí
34 d = -\frac{33191}{4913} \quad\Rightarrow\quad d = -\frac{33191}{4913\cdot34} = -\frac{33191}{167042}.
(Tratou-se de transformar frações para um denominador comum e simplificar; os valores numéricos podem ser verificados substituindo na equação para conferir que funcionam.)
Resumo dos coeficientes encontrados:
a=\frac{5}{34},\qquad b=\frac{75}{578},\qquad c=\frac{495}{9826},\qquad d=-\frac{33191}{167042}.

Passo 7

Portanto a solução particular é
x_{p}(t)=e^{-t}\left(\frac{5}{34}t^{3}+\frac{75}{578}t^{2}+\frac{495}{9826}t -\frac{33191}{167042}\right).

Passo 8

A solução geral da equação dada é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t) = e^{4t}\big(C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)\big) + e^{-t}\left(\frac{5}{34}t^{3}+\frac{75}{578}t^{2}+\frac{495}{9826}t -\frac{33191}{167042}\right),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se fornecidas).

Resposta

x(t)=e^{4t}\big(C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)\big) + e^{-t}\left(\frac{5}{34}t^{3}+\frac{75}{578}t^{2}+\frac{495}{9826}t -\frac{33191}{167042}\right)

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