Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
e pede a solução geral
. As informações relevantes são:
- A equação é linear, com coeficientes constantes.
- O segundo membro é uma combinação de termos da forma (polinômio em
) vezes : especificamente e . - Foi solicitado usar o método dos coeficientes indeterminados (ou seja: procurar uma solução particular por uma forma com parâmetros a ajustar).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O segundo membro é
ou seja,
multiplicando um polinômio de grau
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, para um termo do tipo
vezes polinômio de grau
a tentativa é
multiplicado por
se
for raiz da característica com multiplicidade
. Aqui
. Verificamos se
é raiz da característica
: substituindo
obtém-se
. Logo, não há ressonância e não precisamos multiplicar por potências adicionais de
.
Portanto fazemos a tentativa unificada (já que os termos do segundo membro têm o mesmo fator
):
onde
é um polinômio genérico de grau
:
com
coeficientes a determinar.
Passo 4
Vamos calcular
e
em termos de
,
e
. Como
, pela regra do produto:
e derivando novamente,
Agora aplicamos o operador linear
sobre
:
Fatorando
:
Passo 5
Para que
seja particular da equação, deve valer
Cancelando o fator
(não é zero), obtemos a equação para o polinômio
:
Agora substituímos
e calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Agrupando termos por potências de
:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
Passo 6
Resolvemos as equações para
passo a passo.
Da primeira equação:
Da segunda:
Da terceira:
Substituindo
e
:
Portanto
e então
Da quarta:
Calculamos
e
:
Para somar
é conveniente colocar tudo em um denominador comum; seguindo os cálculos algébricos obtemos
daí
(Tratou-se de transformar frações para um denominador comum e simplificar; os valores numéricos podem ser verificados substituindo na equação para conferir que funcionam.)
Resumo dos coeficientes encontrados:
Passo 7
Portanto a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação dada é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se fornecidas).