Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}-2 \dot{x}+5 x=e^{t} \cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\ddot{x}-2\dot{x}+5x=e^{t}\cos 2t
usando o método dos coeficientes indeterminados. Informações dadas:
  • Equação linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • Termo não-homogêneo é \,e^{t}\cos 2t.
    A meta é encontrar a solução geral x(t), isto é a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
\ddot{x}-2\dot{x}+5x=0.
Formamos a equação característica
r^{2}-2r+5=0.
Resolvendo a quadrática com fórmula de Bhaskara:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=1\pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas r=1\pm 2i, a solução geral da homogênea é da forma
x_h(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos 2t + C_{2}\sin 2t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho: para raízes r=\alpha\pm i\beta a solução homogênea é e^{\alpha t}\!(A\cos\beta t + B\sin\beta t).

Passo 3

Determinar a forma adequada de palpite (ansatz) para a solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Observação importante (ressonância): o termo forçante é e^{t}\cos 2t, ou seja, tem a forma e^{\alpha t}\cos(\beta t) com \alpha=1, \beta=2. Como r=1\pm 2i são raízes da característica da homogênea, há ressonância: o palpite padrão e^{t}(A\cos2t+B\sin2t) coincide com a solução homogênea, então devemos multiplicar por t. Logo um palpite razoável é
x_p(t)=t\,e^{t}\big(A\cos 2t + B\sin 2t\big),
com A e B constantes a determinar. Vou usar uma técnica que simplifica bastante a álgebra: complexificar o problema, tratar \cos 2t como a parte real de e^{i2t} e trabalhar com exponencial complexa.

Passo 4

Complexificação e uso do operador linear. Seja o operador linear
L(D)=D^{2}-2D+5,
onde D representa derivação em relação a t. Note que a equação é L(D)[x]=e^{t}\cos 2t.
Trabalhando com exponenciais complexas: considere \lambda=1+2i. O forçante real é \Re\{e^{\lambda t}\}. Em vez de procurar diretamente x_p real, procuro uma solução complexa y_p(t) tal que
L(D)[y_p]=e^{\lambda t},
e então x_p=\Re\{y_p\}.
Para entender L(D) agindo em t e^{\lambda t} uso a fórmula (que pode ser obtida desenvolvendo L(D) ou diferenciando): para um polinômio p(D),
p(D)\big[t e^{\lambda t}\big]=e^{\lambda t}\big(p(\lambda)\,t + p'(\lambda)\big).
Aqui p(\lambda) é o polinômio característico avaliado em \lambda e p'(\lambda) sua derivada naquele ponto. No nosso caso p(r)=r^{2}-2r+5.

Passo 5

Avaliar p(\lambda) e p'(\lambda) para \lambda=1+2i.
Calcule
p(\lambda)=\lambda^{2}-2\lambda+5.
Mas já sabemos que \lambda=1+2i é raiz da característica (obtida no Passo 2), logo
p(\lambda)=0.
Agora a derivada
p'(r)=2r-2,
portanto
p'(\lambda)=2(1+2i)-2=2+4i-2=4i.

Passo 6

Usar a fórmula para determinar a constante complexa do palpite.
Se eu tentar y_p(t)=t\,A e^{\lambda t} com A complexo constante, aplicando L(D) obtemos (pela fórmula do Passo 4)
L(D)[y_p]=L(D)\big[t\,A e^{\lambda t}\big]=A\,e^{\lambda t}\big(p(\lambda)\,t + p'(\lambda)\big)=A\,e^{\lambda t}\,p'(\lambda),
pois p(\lambda)=0. Queremos que isso seja igual a e^{\lambda t}. Então
A\,p'(\lambda)=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{p'(\lambda)}=\frac{1}{4i}=-\frac{i}{4}.
Logo uma solução complexa particular é
y_p(t)=t\left(-\frac{i}{4}\right)e^{(1+2i)t}.

Passo 7

Retornar à solução real: tomar a parte real de y_p.
Primeiro escrevo
y_p(t)= -\frac{i}{4}\,t\,e^{t}e^{i2t}=t e^{t}\left(-\frac{i}{4}e^{i2t}\right).
Calculo -\dfrac{i}{4}e^{i2t}. Usando e^{i2t}=\cos 2t + i\sin 2t,
-\frac{i}{4}e^{i2t}=-\frac{i}{4}(\cos 2t + i\sin 2t)=-\frac{i\cos 2t}{4}+\frac{\sin 2t}{4}=\frac{1}{4}\sin 2t - i\frac{1}{4}\cos 2t.
A parte real dessa expressão é \dfrac{1}{4}\sin 2t. Portanto
x_p(t)=\Re\{y_p(t)\}=t e^{t}\cdot\frac{1}{4}\sin 2t=\frac{1}{4}t e^{t}\sin 2t.

Passo 8

Juntar solução homogênea e particular para obter a solução geral.
A solução geral é
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos 2t + C_{2}\sin 2t\big)+\frac{1}{4}t e^{t}\sin 2t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se existirem).

Resposta

x(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos 2t + C_{2}\sin 2t\big)+\frac{1}{4}t e^{t}\sin 2t

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