Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Informações dadas:
- Equação linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- Termo não-homogêneo é
.
A meta é encontrar a solução geral, isto é a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
Resolvendo a quadrática com fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é da forma
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho: para raízes
a solução homogênea é
.
Passo 3
Determinar a forma adequada de palpite (ansatz) para a solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Observação importante (ressonância): o termo forçante é
, ou seja, tem a forma
com
,
. Como
são raízes da característica da homogênea, há ressonância: o palpite padrão
coincide com a solução homogênea, então devemos multiplicar por
. Logo um palpite razoável é
com
e
constantes a determinar. Vou usar uma técnica que simplifica bastante a álgebra: complexificar o problema, tratar
como a parte real de
e trabalhar com exponencial complexa.
Passo 4
Complexificação e uso do operador linear. Seja o operador linear
onde
representa derivação em relação a
. Note que a equação é
.
Trabalhando com exponenciais complexas: considere
. O forçante real é
. Em vez de procurar diretamente
real, procuro uma solução complexa
tal que
e então
.
Para entender
agindo em
uso a fórmula (que pode ser obtida desenvolvendo
ou diferenciando): para um polinômio
,
Aqui
é o polinômio característico avaliado em
e
sua derivada naquele ponto. No nosso caso
.
Passo 5
Avaliar
e
para
.
Calcule
Mas já sabemos que
é raiz da característica (obtida no Passo 2), logo
Agora a derivada
portanto
Passo 6
Usar a fórmula para determinar a constante complexa do palpite.
Se eu tentar
com
complexo constante, aplicando
obtemos (pela fórmula do Passo 4)
pois
. Queremos que isso seja igual a
. Então
Logo uma solução complexa particular é
Passo 7
Retornar à solução real: tomar a parte real de
.
Primeiro escrevo
Calculo
. Usando
,
A parte real dessa expressão é
. Portanto
Passo 8
Juntar solução homogênea e particular para obter a solução geral.
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se existirem).