Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}+4 x=t \cos t

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial não-homogênea
\ddot{x}+4x=t\cos t.
Informações dadas:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo forçante é t\cos t (um polinômio de grau 1 multiplicando \cos t).
    O objetivo é encontrar a solução geral x(t).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
\ddot{x}+4x=0.
Formamos a equação característica
r^{2}+4=0,
cuja solução é
r=\pm 2i.
Portanto a solução geral da homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular x_{p}(t) da equação não-homogênea. Regra prática:
  • Se o lado direito é P_{m}(t)\cos(\omega t) ou P_{m}(t)\sin(\omega t) com P_{m} polinômio grau m, tenta-se uma combinação de polinômios do mesmo grau multiplicando \cos(\omega t) e \sin(\omega t).
    Aqui o lado direito é t\cos t, ou seja m=1 e \omega=1. Então tentamos
x_{p}(t)=(A t+B)\cos t+(C t+D)\sin t,
com constantes indeterminadas A,B,C,D.
Antes de prosseguir, verificamos ressonância: as raízes da homogênea são \pm 2i (frequência 2), enquanto a forçante tem frequência 1. Não há ressonância, então o ansatz acima é adequado (não é preciso multiplicar por t).

Passo 4

Calculamos as derivadas de x_{p}. Usando a regra do produto:
x_{p}(t)=(A t+B)\cos t+(C t+D)\sin t.
Derivando uma vez:
\dot{x}_{p}(t)=A\cos t-(A t+B)\sin t + C\sin t+(C t+D)\cos t.
Agrupando termos em \cos t e \sin t obtemos
\dot{x}_{p}(t)=(C t+(A+D))\cos t+(-A t+(C-B))\sin t.

Passo 5

Derivando novamente para obter \ddot{x}_{p}. Derivando cada termo do resultado anterior:
\ddot{x}_{p}(t)=\frac{d}{dt}\big[(C t+(A+D))\cos t\big]+\frac{d}{dt}\big[(-A t+(C-B))\sin t\big].
Calculando:
\frac{d}{dt}\big[(C t+(A+D))\cos t\big]=C\cos t-(C t+(A+D))\sin t,
\frac{d}{dt}\big[(-A t+(C-B))\sin t\big]=-A\sin t+(-A t+(C-B))\cos t.
Somando os dois resultados e agrupando:
\ddot{x}_{p}(t)=(-A t+(2C-B))\cos t+(-C t-(2A+D))\sin t.

Passo 6

Agora calculamos \ddot{x}_{p}+4x_{p}. Já temos \ddot{x}_{p} e
4x_{p}(t)=(4A t+4B)\cos t+(4C t+4D)\sin t.
Somando termo a termo (coeficientes de \cos t e \sin t):
coeficiente de \cos t:
(-A t+(2C-B))+(4A t+4B)=3A t+(2C+3B).
coeficiente de \sin t:
(-C t-(2A+D))+(4C t+4D)=3C t+(-2A+3D).
Portanto
\ddot{x}_{p}+4x_{p}=\big(3A t+(2C+3B)\big)\cos t+\big(3C t+(-2A+3D)\big)\sin t.

Passo 7

Impor que \ddot{x}_{p}+4x_{p} coincida com o lado direito t\cos t. Ou seja:
\big(3A t+(2C+3B)\big)\cos t+\big(3C t+(-2A+3D)\big)\sin t = t\cos t.
Igualando coeficientes de t\cos t, \cos t, t\sin t, \sin t obtemos o sistema:
3A=1,
2C+3B=0,
3C=0,
-2A+3D=0.

Passo 8

Resolvendo o sistema para A,B,C,D:
De 3A=1 segue A=\tfrac{1}{3}.
De 3C=0 segue C=0.
Substituindo C=0 em 2C+3B=0 3B=0 então B=0.
De -2A+3D=0 segue 3D=2A, portanto D=\tfrac{2A}{3}=\tfrac{2}{9}.

Passo 9

Assim a solução particular é
x_{p}(t)=\left(\tfrac{1}{3}t+0\right)\cos t+\left(0\cdot t+\tfrac{2}{9}\right)\sin t=\tfrac{1}{3}t\cos t+\tfrac{2}{9}\sin t.

Passo 10

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)+\tfrac{1}{3}t\cos t+\tfrac{2}{9}\sin t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

x(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)+\tfrac{1}{3}t\cos t+\tfrac{2}{9}\sin t

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