Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial não-homogênea
Informações dadas:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo forçante é
(um polinômio de grau 1 multiplicando ).
O objetivo é encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
cuja solução é
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular
da equação não-homogênea. Regra prática:
- Se o lado direito é
ou com polinômio grau , tenta-se uma combinação de polinômios do mesmo grau multiplicando e .
Aqui o lado direito é, ou seja e . Então tentamos
com constantes indeterminadas
.
Antes de prosseguir, verificamos ressonância: as raízes da homogênea são
(frequência
), enquanto a forçante tem frequência
. Não há ressonância, então o ansatz acima é adequado (não é preciso multiplicar por
).
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Usando a regra do produto:
Derivando uma vez:
Agrupando termos em
e
obtemos
Passo 5
Derivando novamente para obter
. Derivando cada termo do resultado anterior:
Calculando:
Somando os dois resultados e agrupando:
Passo 6
Agora calculamos
. Já temos
e
Somando termo a termo (coeficientes de
e
):
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Portanto
Passo 7
Impor que
coincida com o lado direito
. Ou seja:
Igualando coeficientes de
,
,
,
obtemos o sistema:
Passo 8
Resolvendo o sistema para
:
De segue
.
De segue
.
Substituindo em
dá
então
.
De segue
, portanto
.
De
De
Substituindo
De
Passo 9
Assim a solução particular é
Passo 10
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes determinadas por condições iniciais, se fornecidas.