Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados:
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
.
O objetivo é encontrar a solução geralda equação.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (tirando o lado direito):
Para isso usamos o método padrão: supor uma solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico
Vou explicar como resolver essa equação quadrática. A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) diz que raízes de
são
Aqui
,
,
. Então
Portanto as duas raízes reais são
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular
da equação completa. Vou explicar a ideia do método:
- Quando o lado direito da equação é uma função simples como exponencial
, polinômio em , seno ou cosseno, ou produto deles, faz-se um palpite (ansatz) para com a mesma forma, mas com coeficientes desconhecidos a determinar. - Se o palpite coincidisse com alguma solução da homogênea, multiplicamos por
um número apropriado de vezes (normalmente por onde é a multiplicidade do valor como raiz do polinomial característico) para obter um palpite independente.
No nosso caso o lado direito é
. O palpite usual é
com
constante desconhecida. Antes de usar, verificamos se
é raiz do polinômio característico: substituindo
em
dá
Portanto
NÃO é raiz, então o palpite
é válido sem multiplicar por
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Agora somamos os coeficientes:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Logo temos a equação para
:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter
Passo 5
Concluímos que uma solução particular é
Lembre que a solução geral da equação linear não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
Passo 6
Recapitulando as partes que já encontramos:
- As raízes do polinômio característico são
e . - A solução homogênea é
. - A solução particular é
.