Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}-3 \dot{x}+x=e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados:
\ddot{x}-3\dot{x}+x=e^{t}.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é \,e^{t}.
    O objetivo é encontrar a solução geral x(t) da equação.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (tirando o lado direito):
\ddot{x}-3\dot{x}+x=0.
Para isso usamos o método padrão: supor uma solução do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico
r^{2}-3r+1=0.
Vou explicar como resolver essa equação quadrática. A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) diz que raízes de ar^{2}+br+c=0 são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-3, c=1. Então
r=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1} =\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2} =\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}.
Portanto as duas raízes reais são
r_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\qquad r_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular x_{p}(t) da equação completa. Vou explicar a ideia do método:
  • Quando o lado direito da equação é uma função simples como exponencial e^{\alpha t}, polinômio em t, seno ou cosseno, ou produto deles, faz-se um palpite (ansatz) para x_{p}(t) com a mesma forma, mas com coeficientes desconhecidos a determinar.
  • Se o palpite coincidisse com alguma solução da homogênea, multiplicamos por t um número apropriado de vezes (normalmente por t^{s} onde s é a multiplicidade do valor \alpha como raiz do polinomial característico) para obter um palpite independente.
No nosso caso o lado direito é \,e^{t}. O palpite usual é
x_{p}(t)=A e^{t},
com A constante desconhecida. Antes de usar, verificamos se r=1 é raiz do polinômio característico: substituindo r=1 em r^{2}-3r+1
1^{2}-3\cdot1+1=1-3+1=-1\neq0.
Portanto r=1 NÃO é raiz, então o palpite A e^{t} é válido sem multiplicar por t.

Passo 4

Calculamos as derivadas de x_{p}(t)=A e^{t}:
\dot{x}_{p}(t)=A e^{t},\qquad \ddot{x}_{p}(t)=A e^{t}.
Substituímos na equação original:
\ddot{x}_{p}-3\dot{x}_{p}+x_{p} = A e^{t}-3A e^{t}+A e^{t}.
Agora somamos os coeficientes:
A e^{t}-3A e^{t}+A e^{t}=(1-3+1)A e^{t}=(-1)A e^{t}.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito e^{t}. Logo temos a equação para A:
(-1)A e^{t}=e^{t}.
Como e^{t} nunca é zero, podemos dividir por e^{t} e obter
- A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=-1.

Passo 5

Concluímos que uma solução particular é
x_{p}(t)=-e^{t}.
Lembre que a solução geral da equação linear não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t).

Passo 6

Recapitulando as partes que já encontramos:
  • As raízes do polinômio característico são \,r_{1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} e \,r_{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}.
  • A solução homogênea é x_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
  • A solução particular é x_{p}(t)=-e^{t}.

Resposta

x(t)=C_{1}e^{\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}t}+C_{2}e^{\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}t}-e^{t}

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