Sejam A=(ccc1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4), I=(lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1), X=(lx y z) e O=(l0 0 0).
Encontre a solução geral do sistema de equações lineares (A-2 I) X=O.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo (A - 2I)X = O, onde temos uma matriz A de ordem 3, a matriz identidade I, o vetor incógnita X=(x,y,z)^T e o vetor nulo O. O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos e vamos usar operações elementares para encontrar a solução generalizada.

Passo 2

Primeiro, calculamos a matriz A - 2I. Temos
A = 1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4, 2I = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2

Passo 3

Subtraindo,
A - 2I = 1-2 & 0 & 5 1 & 1-2 & 1 0 & 1 & -4-2 = -1 & 0 & 5 1 & -1 & 1 0 & 1 & -6

Passo 4

Agora montamos o sistema (A-2I)X = O, ou seja:
-x + 0,y + 5z = 0, x - y + z = 0, 0,x + y -6z = 0

Passo 5

Da primeira equação vem x = 5z. Substituindo na segunda:
5z - y + z = 0 implies y = 6z

Passo 6

A terceira equação é y -6z = 0, que confirma y = 6z. Assim, todas as equações se satisfazem com
x = 5z, y = 6z, z livre

Passo 7

Como z é parâmetro, chamamos z = t, com t in R. Aí obtemos a forma vetorial da solução.

Resposta

A solução geral é
X = t561, t in R

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