Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções: \left\{\begin{aligned} & x+y+z=2 \\\ & 2 x+3 y+ 2 z \\\ & 2 x+3 y+\left(a^{2}-1\right) z= \\\ & 2 x+1\end{aligned} \quad\right.;
Passo 1
Vou reproduzir exatamente o que o enunciado me deu e listar o que falta (peguei as expressões das linhas tal como vieram). O enunciado pede: encontrar todos os valores de a para os quais o sistema linear tem (i) sem solução, (ii) solução única e (iii) infinitas soluções.
O sistema recebido (como foi enviado) aparece assim:
A primeira equação está completa e sua constante é 2.
A segunda e a terceira linhas aparecem sem o membro direito (as constantes) na forma em que o enunciado foi colado: faltam os termos do lado direito dessas duas equações.
Para poder analisar consistência e número de soluções de um sistema linear é preciso conhecer as constantes do lado direito (o vetor dos termos independentes). Sem elas só é possível tirar conclusões parciais que dependem desses valores.
Passo 2
Para trabalhar de forma clara, vou introduzir notação para as constantes que faltam: chame as constantes desconhecidas da 2ª e 3ª equações de b_2\) e \(b_3\). A 1ª equação tem constante conhecida \(b_1=2\). Assim o sistema que temos, com as constantes genéricas, é
\[\begin{cases} x+y+z = b_1,\\[4pt] 2x+3y+2z = b_2,\\[4pt] 2x+3y+\bigl(a^{2}-1\bigr)z = b_3, \end{cases}
onde b_1=2\] e \(b_2,b_3 não foram fornecidos no enunciado original.
Para decidir quando o sistema tem solução única, infinitas ou nenhuma, usamos as ideias:
Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem solução única para qualquer vetor de constantes (b_1,b_2,b_3).
Se \det(A)=0 então A é singular e a situação depende da consistência: pode ser sem solução (se o vetor dos termos independentes não estiver no espaço gerado pelas colunas de A) ou pode ter infinitas soluções (se estiver).]
Se \det(A)\neq 0, isto é, se a^{2}-3\neq 0 ou equivalentemente se a\neq \pm\sqrt{3}, então a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema tem solução única para qualquer escolha das constantes b_1,b_2,b_3. Note que aqui não precisamos dos valores de b_2,b_3: a existência e unicidade vêm diretamente de \det(A)\neq0.
Se \det(A)=0, isto é, se a^{2}-3=0 ou a=\pm\sqrt{3}, a matriz dos coeficientes fica singular. Observação estrutural neste caso: para a^{2}=3 temos a^{2}-1=2, então a 3ª linha de A coincide com a 2ª linha:
Logo \operatorname{rank}(A)=2. Para decidir se o sistema é consistente é preciso comparar as constantes b_2 e b_3:
Se b_2\neq b_3 então as duas equações lineares 2 e 3 são contraditórias (mesmos coeficientes à esquerda, constantes diferentes à direita) e o sistema é inconsistente (sem solução).
Se b_2=b_3 então a 3ª equação é redundante (é a mesma que a 2ª) e o sistema reduz-se a duas equações independentes para três incógnitas, portanto há grau de liberdade 3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1 e o sistema tem infinitas soluções (uma família de soluções com um parâmetro).
Passo 5
Conclusão prática para o enunciado tal como veio:
Para determinar completamente se, no caso a=\pm\sqrt{3}, o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução é imprescindível conhecer as constantes do lado direito das 2ª e 3ª equações (os b_2 e b_3), que não foram fornecidas no enunciado original. Sem esses dados apenas se pode dar a resposta condicional do passo anterior.
Resposta
\text{Solução única: } a \neq \pm\sqrt{3}çãú (isto é, a^{2}\neq 3). \text{Infinitas soluções: } a=\pm\sqrt{3}çõ e as constantes da 2ª e 3ª equações são iguais (isto é, b_{2}=b_{3}). \text{Sem solução: } a=\pm\sqrt{3}çã e as constantes da 2ª e 3ª equações são diferentes (isto é, b_{2}\neq b_{3}).