Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
\left\{\begin{aligned} & x+y+z=2 \\\ & 2 x+3 y+ 2 z \\\ & 2 x+3 y+\left(a^{2}-1\right) z= \\\ & 2 x+1\end{aligned} \quad\right.;

Passo 1

Vou reproduzir exatamente o que o enunciado me deu e listar o que falta (peguei as expressões das linhas tal como vieram). O enunciado pede: encontrar todos os valores de a para os quais o sistema linear tem (i) sem solução, (ii) solução única e (iii) infinitas soluções.
O sistema recebido (como foi enviado) aparece assim:
\begin{aligned} & x+y+z=2 \\\ & 2x+3y+2z \\\ & 2x+3y+\bigl(a^{2}-1\bigr)z= \\\ & 2x+1 \end{aligned}
Observações imediatas sobre os dados fornecidos:
  • A primeira equação está completa e sua constante é 2.
  • A segunda e a terceira linhas aparecem sem o membro direito (as constantes) na forma em que o enunciado foi colado: faltam os termos do lado direito dessas duas equações.
  • Para poder analisar consistência e número de soluções de um sistema linear é preciso conhecer as constantes do lado direito (o vetor dos termos independentes). Sem elas só é possível tirar conclusões parciais que dependem desses valores.

Passo 2

Para trabalhar de forma clara, vou introduzir notação para as constantes que faltam: chame as constantes desconhecidas da 2ª e 3ª equações de b_2\) e \(b_3\). A 1ª equação tem constante conhecida \(b_1=2\). Assim o sistema que temos, com as constantes genéricas, é \[\begin{cases} x+y+z = b_1,\\[4pt] 2x+3y+2z = b_2,\\[4pt] 2x+3y+\bigl(a^{2}-1\bigr)z = b_3, \end{cases}
onde b_1=2\] e \(b_2,b_3 não foram fornecidos no enunciado original.
A matriz dos coeficientes (matriz A) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 2\\[4pt] 2 & 3 & a^{2}-1 \end{pmatrix}.
Para decidir quando o sistema tem solução única, infinitas ou nenhuma, usamos as ideias:
  • Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem solução única para qualquer vetor de constantes (b_1,b_2,b_3).
  • Se \det(A)=0 então A é singular e a situação depende da consistência: pode ser sem solução (se o vetor dos termos independentes não estiver no espaço gerado pelas colunas de A) ou pode ter infinitas soluções (se estiver).]

Passo 3

Vou calcular \det(A) passo a passo.
Usando a expansão pela primeira linha:
\det(A)= 1\cdot\begin{vmatrix}3 & 2\\[4pt] 3 & a^{2}-1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}2 & 2\\[4pt] 2 & a^{2}-1\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}2 & 3\\[4pt] 2 & 3\end{vmatrix}.
Agora calculo cada menor:
\begin{vmatrix}3 & 2\\\\ 3 & a^{2}-1\end{vmatrix}=3(a^{2}-1)-2\cdot3=3a^{2}-3-6=3(a^{2}-3),
\begin{vmatrix}2 & 2\\\\ 2 & a^{2}-1\end{vmatrix}=2(a^{2}-1)-2\cdot2=2a^{2}-2-4=2(a^{2}-3),
\begin{vmatrix}2 & 3\\\\ 2 & 3\end{vmatrix}=2\cdot3-3\cdot2=0.
Substituindo:
\det(A)=3(a^{2}-3)-2(a^{2}-3)+0=(3-2)(a^{2}-3)=a^{2}-3.
Portanto
\det(A)=a^{2}-3.]

Passo 4

Interpretação da fórmula obtida e consequências:
  1. Se \det(A)\neq 0, isto é, se a^{2}-3\neq 0 ou equivalentemente se a\neq \pm\sqrt{3}, então a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema tem solução única para qualquer escolha das constantes b_1,b_2,b_3. Note que aqui não precisamos dos valores de b_2,b_3: a existência e unicidade vêm diretamente de \det(A)\neq0.
  2. Se \det(A)=0, isto é, se a^{2}-3=0 ou a=\pm\sqrt{3}, a matriz dos coeficientes fica singular. Observação estrutural neste caso: para a^{2}=3 temos a^{2}-1=2, então a 3ª linha de A coincide com a 2ª linha:
\text{para }a=\pm\sqrt{3}:\quad (2,3,a^{2}-1)=(2,3,2).
Logo \operatorname{rank}(A)=2. Para decidir se o sistema é consistente é preciso comparar as constantes b_2 e b_3:
  • Se b_2\neq b_3 então as duas equações lineares 2 e 3 são contraditórias (mesmos coeficientes à esquerda, constantes diferentes à direita) e o sistema é inconsistente (sem solução).
  • Se b_2=b_3 então a 3ª equação é redundante (é a mesma que a 2ª) e o sistema reduz-se a duas equações independentes para três incógnitas, portanto há grau de liberdade 3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1 e o sistema tem infinitas soluções (uma família de soluções com um parâmetro).

Passo 5

Conclusão prática para o enunciado tal como veio:
  • Para determinar completamente se, no caso a=\pm\sqrt{3}, o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução é imprescindível conhecer as constantes do lado direito das 2ª e 3ª equações (os b_2 e b_3), que não foram fornecidas no enunciado original. Sem esses dados apenas se pode dar a resposta condicional do passo anterior.

Resposta

\text{Solução única: } a \neq \pm\sqrt{3}çãú (isto é, a^{2}\neq 3).
\text{Infinitas soluções: } a=\pm\sqrt{3}çõ e as constantes da 2ª e 3ª equações são iguais (isto é, b_{2}=b_{3}).
\text{Sem solução: } a=\pm\sqrt{3}çã e as constantes da 2ª e 3ª equações são diferentes (isto é, b_{2}\neq b_{3}).

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