Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
\left\{\begin{aligned} x+2 y-3 z & =4 \\\\ 3 x-y+\left(a^{2}-14\right) z & =a+2 \\\\ 4 x+y+\left(a^{2}+\right. & 2\end{aligned}\right.;

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar todos os valores de [a) para os quais o sistema linear dado não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
Informações fornecidas no enunciado (copiadas tal como vieram):
\begin{cases} x+2y-3z=4,\\[4pt] 3x-y+\left(a^{2}-14\right)z=a+2,\\[4pt] 4x+y+\left(a^{2}+\right.\; & 2 \end{cases}
Observação crucial: a terceira equação está incompleta no enunciado que foi enviado — faltam pelo menos o que aparece entre parênteses depois de a^{2}+\] e também falta o termo independente do lado direito. Sem esses pedaços (ou seja, sem saber o coeficiente de \(z na terceira equação e o termo do lado direito dessa equação) o sistema não está totalmente especificado. Portanto não é possível calcular números concretos para os valores de a pedidos a menos que essa informação seja fornecida.]

Passo 2

O que farei agora (didaticamente): vou mostrar passo a passo o método padrão que se usa nesses problemas dependentes de parâmetro, de modo que, se você colar a parte que está faltando depois, poderá aplicar imediatamente os passos e obter a resposta. Não vou inventar os termos que faltam — em vez disso vou representá‑los por símbolos e resolver simbolicamente em função desses símbolos.
Lembrete da teoria (curta e prática):
  • Para um sistema linear 3\times3 o número de incógnitas é n=3.
  • Formar a matriz dos coeficientes A (3×3) e o vetor de termos independentes b (3×1). Formar também a matriz aumentada [A\mid b].
  • Teorema fundamental:
    • O sistema é consistente (tem pelo menos uma solução) se, e só se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]).
    • Se for consistente e \operatorname{rank}(A)=n então a solução é única.
    • Se for consistente e \operatorname{rank}(A)<n então há infinitas soluções.
  • Uma verificação simples: se \det(A)\neq 0 então \operatorname{rank}(A)=n e o sistema tem solução única. Se \det(A)=0 devemos comparar as duas ranks (coeficientes e aumentada) para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 3

Organização dos dados usando símbolos para a parte ausente:
  • Dos dois primeiros ramos temos diretamente os coeficientes:
    • 1ª equação: coeficientes (1,2,-3) e termo independente 4.
    • 2ª equação: coeficientes \bigl(3,-1,a^{2}-14\bigr) e termo independente a+2.
  • Para a 3ª equação, como está incompleta, vamos chamar:
    • t o coeficiente do termo z na terceira equação (ou seja, o que estava faltando depois de a^{2}+\dots).
    • s o termo independente (o lado direito) da terceira equação.
      Assim, escrevemos a terceira equação como
    4x+y+tz=s.
  • Com isso a matriz dos coeficientes fica A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\[4pt] 3 & -1 & a^{2}-14\\[4pt] 4 & 1 & t \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}4\\[4pt] a+2\\[4pt] s\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular \det(A) simbolicamente (passo básico para ver quando a matriz é invertível):
Usando desenvolvimento por cofactores pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & a^{2}-14\\[4pt] 1 & t\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & a^{2}-14\\[4pt] 4 & t\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculando cada determinante secundário:
\det\begin{pmatrix}-1 & a^{2}-14\\[4pt] 1 & t\end{pmatrix}=-t-(a^{2}-14),
\det\begin{pmatrix}3 & a^{2}-14\\[4pt] 4 & t\end{pmatrix}=3t-4(a^{2}-14),
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-(-1)\cdot4=7.
Substituindo e juntando termos obtém‑se
\det(A)=7\bigl(a^{2}-t-17\bigr).]

Passo 5

Interpretação imediata do cálculo da determinante:
  • Se \det(A)\neq 0, isto é, se a^{2}-t-17\neq 0,então \operatorname{rank}(A)=3 e o sistema tem solução única (para qualquer s).
  • Se \det(A)=0, isto é, se a^{2}-t-17=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=a^{2}-17,então a matriz de coeficientes é singular ( \operatorname{rank}(A)\le 2) e precisamos comparar \operatorname{rank}(A) com \operatorname{rank}([A\mid b]) para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 6

Análise detalhada do caso singular t=a^{2}-17:
  • Quando t=a^{2}-17 nota‑se uma relação simples entre as linhas dos coeficientes: a terceira linha é soma das duas primeiras. Verificação:
    • 1ª linha: (1,2,-3).
    • 2ª linha: (3,-1,a^{2}-14).
    • Soma: (1+3,\,2+(-1),\,-3+(a^{2}-14))=(4,1,a^{2}-17), que é exatamente a 3ª linha quando t=a^{2}-17.
    • Portanto, nesse caso \operatorname{rank}(A)=2 (porque as duas primeiras linhas são linearmente independentes para todos os a; verifica‑se que não há escalar k tal que (3,-1,a^{2}-14)=k(1,2,-3) para qualquer a, já que os dois primeiros componentes dariam k=3 e k=-\tfrac{1}{2}, contraditórios).
  • Para o sistema ser consistente com essa dependência entre linhas dos coeficientes, a linha correspondente da matriz aumentada tem de satisfazer a mesma relação linear. Ou seja, devemos ter s=4+(a+2)=a+6.Se isso ocorrer então a terceira linha aumentada também é soma das duas primeiras linhas aumentadas, logo \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A)=2 e, como 2<3, o sistema terá infinitas soluções (uma família unidimensional de soluções).
  • Se, porém, t=a^{2}-17 e s\neq a+6, então a combinação linear que existe entre as linhas dos coeficientes não se verifica entre as linhas aumentadas; isso faz com que \operatorname{rank}([A\mid b])=3 enquanto \operatorname{rank}(A)=2. Nesse caso o sistema é inconsistente e não tem solução.

Passo 7

Resumo prático e o que falta para obter respostas numéricas:
  • Para dar as respostas finais em termos apenas de a é necessário saber explicitamente qual é o coeficiente do z na terceira equação (o nosso t) e o termo independente dessa terceira equação (o nosso s). Esses dois valores não foram fornecidos no enunciado que chegou aqui.
  • Assim, a solução do problema depende de t e s e os resultados gerais (em função de t e s) são os listados a seguir; se você colar a parte que falta (mostrando exatamente a terceira equação completa), eu aplico estes passos e retorno imediatamente os valores concretos de a.

Resposta

Sistema sem solução: quando a^{2}-t-17=0 e s\neq a+6.
Sistema tem solução única: quando a^{2}-t-17\neq 0.
Sistema tem infinitas soluções: quando a^{2}-t-17=0 e s=a+6.

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