Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções: \left\{\begin{aligned} x+2 y-3 z & =4 \\\\ 3 x-y+\left(a^{2}-14\right) z & =a+2 \\\\ 4 x+y+\left(a^{2}+\right. & 2\end{aligned}\right.;
Passo 1
O que o enunciado pede:
Encontrar todos os valores de [a) para os quais o sistema linear dado não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
Informações fornecidas no enunciado (copiadas tal como vieram):
Observação crucial: a terceira equação está incompleta no enunciado que foi enviado — faltam pelo menos o que aparece entre parênteses depois de a^{2}+\] e também falta o termo independente do lado direito. Sem esses pedaços (ou seja, sem saber o coeficiente de \(z na terceira equação e o termo do lado direito dessa equação) o sistema não está totalmente especificado. Portanto não é possível calcular números concretos para os valores de a pedidos a menos que essa informação seja fornecida.]
Passo 2
O que farei agora (didaticamente): vou mostrar passo a passo o método padrão que se usa nesses problemas dependentes de parâmetro, de modo que, se você colar a parte que está faltando depois, poderá aplicar imediatamente os passos e obter a resposta. Não vou inventar os termos que faltam — em vez disso vou representá‑los por símbolos e resolver simbolicamente em função desses símbolos.
Lembrete da teoria (curta e prática):
Para um sistema linear 3\times3 o número de incógnitas é n=3.
Formar a matriz dos coeficientes A (3×3) e o vetor de termos independentes b (3×1). Formar também a matriz aumentada [A\mid b].
Teorema fundamental:
O sistema é consistente (tem pelo menos uma solução) se, e só se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]).
Se for consistente e \operatorname{rank}(A)=n então a solução é única.
Se for consistente e \operatorname{rank}(A)<n então há infinitas soluções.
Uma verificação simples: se \det(A)\neq 0 então \operatorname{rank}(A)=n e o sistema tem solução única. Se \det(A)=0 devemos comparar as duas ranks (coeficientes e aumentada) para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.
Passo 3
Organização dos dados usando símbolos para a parte ausente:
Dos dois primeiros ramos temos diretamente os coeficientes:
1ª equação: coeficientes (1,2,-3) e termo independente 4.
2ª equação: coeficientes \bigl(3,-1,a^{2}-14\bigr) e termo independente a+2.
Para a 3ª equação, como está incompleta, vamos chamar:
t o coeficiente do termo z na terceira equação (ou seja, o que estava faltando depois de a^{2}+\dots).
s o termo independente (o lado direito) da terceira equação.
Assim, escrevemos a terceira equação como
4x+y+tz=s.
Com isso a matriz dos coeficientes ficaA=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\[4pt] 3 & -1 & a^{2}-14\\[4pt] 4 & 1 & t \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}4\\[4pt] a+2\\[4pt] s\end{pmatrix}.]
Passo 4
Calcular \det(A) simbolicamente (passo básico para ver quando a matriz é invertível):
Usando desenvolvimento por cofactores pela primeira linha:
Interpretação imediata do cálculo da determinante:
Se \det(A)\neq 0, isto é, sea^{2}-t-17\neq 0,então \operatorname{rank}(A)=3 e o sistema tem solução única (para qualquer s).
Se \det(A)=0, isto é, sea^{2}-t-17=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=a^{2}-17,então a matriz de coeficientes é singular (\operatorname{rank}(A)\le 2) e precisamos comparar \operatorname{rank}(A) com \operatorname{rank}([A\mid b]) para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.
Passo 6
Análise detalhada do caso singular t=a^{2}-17:
Quando t=a^{2}-17 nota‑se uma relação simples entre as linhas dos coeficientes: a terceira linha é soma das duas primeiras. Verificação:
1ª linha: (1,2,-3).
2ª linha: (3,-1,a^{2}-14).
Soma: (1+3,\,2+(-1),\,-3+(a^{2}-14))=(4,1,a^{2}-17), que é exatamente a 3ª linha quando t=a^{2}-17.
Portanto, nesse caso \operatorname{rank}(A)=2 (porque as duas primeiras linhas são linearmente independentes para todos os a; verifica‑se que não há escalar k tal que (3,-1,a^{2}-14)=k(1,2,-3) para qualquer a, já que os dois primeiros componentes dariam k=3 e k=-\tfrac{1}{2}, contraditórios).
Para o sistema ser consistente com essa dependência entre linhas dos coeficientes, a linha correspondente da matriz aumentada tem de satisfazer a mesma relação linear. Ou seja, devemos ters=4+(a+2)=a+6.Se isso ocorrer então a terceira linha aumentada também é soma das duas primeiras linhas aumentadas, logo \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A)=2 e, como 2<3, o sistema terá infinitas soluções (uma família unidimensional de soluções).
Se, porém, t=a^{2}-17 e s\neq a+6, então a combinação linear que existe entre as linhas dos coeficientes não se verifica entre as linhas aumentadas; isso faz com que \operatorname{rank}([A\mid b])=3 enquanto \operatorname{rank}(A)=2. Nesse caso o sistema é inconsistente e não tem solução.
Passo 7
Resumo prático e o que falta para obter respostas numéricas:
Para dar as respostas finais em termos apenas de a é necessário saber explicitamente qual é o coeficiente do z na terceira equação (o nosso t) e o termo independente dessa terceira equação (o nosso s). Esses dois valores não foram fornecidos no enunciado que chegou aqui.
Assim, a solução do problema depende de t e s e os resultados gerais (em função de t e s) são os listados a seguir; se você colar a parte que falta (mostrando exatamente a terceira equação completa), eu aplico estes passos e retorno imediatamente os valores concretos de a.
Resposta
Sistema sem solução: quando a^{2}-t-17=0 e s\neq a+6.
Sistema tem solução única: quando a^{2}-t-17\neq 0.
Sistema tem infinitas soluções: quando a^{2}-t-17=0 e s=a+6.