Faça o que se pede nos seguintes itens:
d) Encontrar a solução da equação integral y(t)=t+16 integral0^t(t-tau)^3 y(tau) d tau em termos de uma convolução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Volterra y(t)=t+tfrac16integral0^t(t-tau)^3,y(tau),dtau escrevendo o termo integral como uma convolução. O conteúdo aqui é reconhecer integrais de Volterra como convolução de funções em R^+.

Passo 2

Definimos a função g(t) em R^+ por
g(t)=t^3,

Passo 3

Nesse caso a integral
integral0^t(t-tau)^3,y(tau),dtau
é exatamente a convolução (g*y)(t). Logo a equação original pode ser reescrita como
y(t)=t+16,(g*y)(t)
ou seja
y(t)=t+16,(t^3 * y)(t),,
que é a forma desejada em termos de convolução.

Resposta

y(t)=t+\tfrac16\bigl(t^3 * y\bigr)(t)

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