Resolva as inequações:
(x^3-7 x+10) /(x^3-8 x^2+17 x-10) >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação x^3 - 7x + 10x^3 - 8x^2 + 17x - 10 >= 1. Esse exercício envolve álgebra, especificamente o estudo de inequações racionais. Para resolver, vamos precisar manipular frações algébricas, encontrar raízes de polinômios e analisar sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a inequação para deixar tudo do lado esquerdo e igual a zero. Subtraímos 1 de ambos os lados:
x^3 - 7x + 10x^3 - 8x^2 + 17x - 10 - 1 >= 0

Passo 3

Agora, precisamos obter um único numerador. Para isso, colocamos a fração e o 1 com o mesmo denominador:
x^3 - 7x + 10 - (x^3 - 8x^2 + 17x - 10)x^3 - 8x^2 + 17x - 10 >= 0

Passo 4

Simplificamos o numerador:
x^3 - 7x + 10 - x^3 + 8x^2 - 17x + 10 = 8x^2 - 24x + 20
Então, a inequação fica:
8x^2 - 24x + 20x^3 - 8x^2 + 17x - 10 >= 0

Passo 5

Vamos simplificar o numerador e o denominador, se possível. No numerador, podemos fatorar:
8x^2 - 24x + 20 = 4(2x^2 - 6x + 5)
No denominador, vamos tentar fatorar o polinômio cúbico x^3 - 8x^2 + 17x - 10. Vamos usar o método de tentativa e erro para encontrar raízes racionais. Testando x=1:
1 - 8 + 17 - 10 = 0
Então, x=1 é uma raiz. Assim, podemos fatorar o denominador como (x - 1)(x^2 - 7x + 10). O polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)
Portanto, o denominador fatorado é:
(x - 1)(x - 2)(x - 5)

Passo 6

Agora, nossa inequação simplificada fica:
4(2x^2 - 6x + 5)(x - 1)(x - 2)(x - 5) >= 0
Podemos dividir ambos os lados por 4 (que é positivo e não altera o sentido da inequação):
2x^2 - 6x + 5(x - 1)(x - 2)(x - 5) >= 0

Passo 7

Vamos analisar os sinais dessa expressão. Primeiro, encontramos as raízes do numerador 2x^2 - 6x + 5. Usando a fórmula de Bhaskara:
De
Como De, o numerador nunca é zero e sempre tem o mesmo sinal. O coeficiente de x^2 é positivo, então 2x^2 - 6x + 5 > 0 para todos os x.

Passo 8

Agora, analisamos o denominador (x - 1)(x - 2)(x - 5). As raízes são x=1, x=2 e x=5. Vamos dividir a reta numérica nesses pontos e verificar o sinal do denominador em cada intervalo:
  1. x < 1: Todos os fatores são negativos, então (-) cdot (-) cdot (-) = -
  2. 1 < x < 2: (+) cdot (-) cdot (-) = +
  3. 2 < x < 5: (+) cdot (+) cdot (-) = -
  4. x > 5: Todos os fatores são positivos, então (+) cdot (+) cdot (+) = +

Passo 9

Como o numerador é sempre positivo, o sinal da expressão inteira depende apenas do denominador. Queremos que a fração seja maior ou igual a zero:
positivopositivo >= 0 ou positivonegativo <= 0
Portanto, a inequação é satisfeita quando o denominador é positivo:
  1. 1 < x < 2
  2. x > 5
Não consideramos os pontos onde o denominador é zero ( x=1, 2, 5) porque a expressão não está definida nesses valores.

Resposta

A solução da inequação é todo x no intervalo 1 < x < 2 ou x > 5. Ou seja,
x in (1,,2) cup (5,,infty)

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