Resolva as inequações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Esse exercício envolve álgebra, especificamente o estudo de inequações racionais. Para resolver, vamos precisar manipular frações algébricas, encontrar raízes de polinômios e analisar sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a inequação para deixar tudo do lado esquerdo e igual a zero. Subtraímos 1 de ambos os lados:
Passo 3
Agora, precisamos obter um único numerador. Para isso, colocamos a fração e o 1 com o mesmo denominador:
Passo 4
Simplificamos o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador e o denominador, se possível. No numerador, podemos fatorar:
No denominador, vamos tentar fatorar o polinômio cúbico
. Vamos usar o método de tentativa e erro para encontrar raízes racionais. Testando
:
Então,
é uma raiz. Assim, podemos fatorar o denominador como
. O polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Portanto, o denominador fatorado é:
Passo 6
Agora, nossa inequação simplificada fica:
Podemos dividir ambos os lados por 4 (que é positivo e não altera o sentido da inequação):
Passo 7
Vamos analisar os sinais dessa expressão. Primeiro, encontramos as raízes do numerador
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Como
, o numerador nunca é zero e sempre tem o mesmo sinal. O coeficiente de
é positivo, então
para todos os
.
Passo 8
Agora, analisamos o denominador
. As raízes são
,
e
. Vamos dividir a reta numérica nesses pontos e verificar o sinal do denominador em cada intervalo:
-
: Todos os fatores são negativos, então -
: -
: -
: Todos os fatores são positivos, então
Passo 9
Como o numerador é sempre positivo, o sinal da expressão inteira depende apenas do denominador. Queremos que a fração seja maior ou igual a zero:
Portanto, a inequação é satisfeita quando o denominador é positivo:
Não consideramos os pontos onde o denominador é zero (
) porque a expressão não está definida nesses valores.
Resposta
A solução da inequação é todo
no intervalo
ou
. Ou seja,