Resolva, usando o método da variação de parâmetros:
y^prime prime-4 y^prime+3 y=(1+e^-x)^-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y'' - 4y' + 3y = 11 + e^-x
usando o método da variação de parâmetros.
O conteúdo é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos precisar de (1) solução geral da homogênea e (2) fórmula de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 4y' + 3y = 0
Achar a equação característica
r^2 - 4r + 3 = 0
cuja raízes são
r = 1, r = 3
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^3x

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos
y1(x) = e^x, y2(x) = e^3x,
e o Wronskiano
W(x) = e^x & e^3x e^x & 3e^3x = 2e^4x
A fórmula para uma solução particular yp é
yp = -,y1(x)integral y2(x),r(x)W(x),dx ;+; y2(x)integral y1(x),r(x)W(x),dx,
onde r(x)=1/(1+e^-x).

Passo 4

Calcular a primeira integral
I1 = integral y2,r(x)W,dx = integral e^3x2e^4x(1+e^-x),dx = 12integral dxe^x+1
Com a substituição u=e^x, du=e^x dx, dx=du/u, vem
integral dxe^x+1 = integral duu(u+1) = ln!l|ur| ;-;ln!l|u+1r| = x - ln(1+e^x)
Logo
I1 = 12l(x - ln(1+e^x)r)

Passo 5

Calcular a segunda integral
I2 = integral y1,r(x)W,dx = integral e^x2e^4x(1+e^-x),dx = 12integral e^-2x1+e^x,dx
Com u=e^x, dx=du/u, e^-2x=u^-2, obtemos
integral e^-2x1+e^x,dx = integral u^-31+u,du
Fazendo frações parciais
1u^3(1+u) = 1u - 1u^2 + 1u^3 - 11+u,
integramos termo a termo e voltamos a x:
integral u^-31+u,du = ln u + 1u - 12u^2 - ln(1+u) = x + e^-x - tfrac12e^-2x - ln(1+e^x)
Portanto
I2 = 12l(x + e^-x - tfrac12e^-2x - ln(1+e^x)r)

Passo 6

Agora montamos
yp = -e^x,I1 + e^3x,I2
Substituindo I1 e I2 e rearranjando, chega-se a uma forma conveniente:
yp(x) = e^3x-e^x2,l[x - ln(1+e^x)r] ;+;2e^2x-e^x4

Passo 7

A solução geral da equação é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^3x +e^3x-e^x2,l[x - ln(1+e^x)r] +2e^2x-e^x4

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^3x +e^3x-e^x2,l[x - ln(1+e^x)r] +2e^2x-e^x4

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