Resolva, usando o método da variação de parâmetros:
y^prime prime-y=e^-1 sen(e^-1)+cos (e^-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' - y = e^-1sinl(e^-1r) + cosl(e^-1r),
utilizando o método da variação de parâmetros. O conteúdo envolvido é: solução geral da homogênea, cálculo do Wronskiano e aplicação das fórmulas de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
y'' - y = 0
A equação característica é r^2 - 1 = 0, cujas raízes são r=1 e r=-1. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-x
Escolhemos como soluções fundamentais y1(x)=e^x e y2(x)=e^-x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W(y1,y2)(x) = e^x & e^-x e^x & -e^-x = e^xl(-e^-xr)-e^xcdot e^-x = -1 -1 = -2

Passo 4

Denotemos a função não homogênea por
f(x)=e^-1sinl(e^-1r)+cosl(e^-1r),
que é uma constante em x. Para variação de parâmetros usamos as fórmulas
u1'(x) = -y2(x),f(x)W, u2'(x) = y1(x),f(x)W

Passo 5

Substituindo y1,y2,W e f=A onde
A=e^-1sinl(e^-1r)+cosl(e^-1r), temos
u1'(x) = -e^-x,A-2 = A2e^-x, u2'(x) = e^x,A-2 = -A2e^x
Integramos:
u1(x) = integral A2e^-xdx = -A2e^-x, u2(x) = integral -A2e^x dx = -A2e^x

Passo 6

A solução particular é
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x) = l(-tfracA2e^-xr)e^x + l(-tfracA2e^xr)e^-x = -A2 - A2 = -A

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^-x - A

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-x - l(e^-1sinl(e^-1r) + cosl(e^-1r)r)

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