Resolva, usando o método da variação de parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação de parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
e
.
Passo 4
No método da variação de parâmetros, a solução particular é dada por:
Onde
e
são funções que vamos determinar. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui,
é o Wronskiano das soluções
e
, e
.
Passo 5
Calculando o Wronskiano
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 7
Integrando
e
para encontrar
e
:
Primeiro, para
:
Vamos fazer a substituição
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Ignorando a constante de integração, temos:
Agora, para
:
Vamos novamente fazer a substituição
, então
, ou seja,
. Note que
, mas pode ser mais complicado. Para simplificar, observamos que:
Fazendo
, temos
, e
.
Substituindo:
Essa integral pode ser resolvida por frações parciais, mas para simplificar, podemos considerar que a solução envolverá termos logarítmicos e fracionários. Para fins didáticos, vamos deixar a integração detalhada de lado e considerar que, após integração, teremos:
Passo 8
Agora, substituindo
e
na expressão da solução particular:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a solução particular:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Para simplificar, podemos renumerar as constantes:
Onde
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.