Resolva, usando o método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-y=e^x sen 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y'' - y = e^x sin 2x
Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver usando o método dos coeficientes a determinar, precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
y'' - y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume uma solução do tipo y = e^rt e substitui na equação:
r^2 e^rt - e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^2 - 1 = 0
Então, as raízes características são:
r = pm 1

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^x + C2 e^-x
Onde C1 e C2 são constantes que vão depender das condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' - y = e^x sin 2x
Como o lado direito é e^x sin 2x, vamos supor uma solução particular do tipo:
yp = e^x(A cos 2x + B sin 2x)
Aqui, A e B são coeficientes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar yp para encontrar yp' e yp''.
Primeiro, a primeira derivada:
yp' = e^x(A cos 2x + B sin 2x) + e^x(-2A sin 2x + 2B cos 2x)
yp' = e^x[(A + 2B) cos 2x + (B - 2A) sin 2x]
Agora, a segunda derivada:
yp'' = e^x[(A + 2B) cos 2x + (B - 2A) sin 2x] + e^x[-2(A + 2B) sin 2x + 2(B - 2A) cos 2x]
yp'' = e^x[(A + 4B) cos 2x + (-3A - 2B) sin 2x]

Passo 6

Substituímos yp'' e yp na equação original:
yp'' - yp = e^x sin 2x
Então:
e^x[(A + 4B) cos 2x + (-3A - 2B) sin 2x] - e^x(A cos 2x + B sin 2x) = e^x sin 2x
Simplificando:
e^x[(A + 4B - A) cos 2x + (-3A - 2B - B) sin 2x] = e^x sin 2x
e^x[4B cos 2x + (-3A - 3B) sin 2x] = e^x sin 2x

Passo 7

Igualamos os coeficientes dos termos de cos 2x e sin 2x:
Para cos 2x:
4B = 0
Para sin 2x:
-3A - 3B = 1

Passo 8

Resolvendo as equações:
Da primeira equação:
4B = 0 Rightarrow B = 0
Substituindo B = 0 na segunda equação:
-3A = 1 Rightarrow A = -13

Passo 9

Agora, temos os valores de A e B:
A = -13, B = 0
Então, a solução particular é:
yp = e^x(-13 cos 2x) = -13 e^x cos 2x

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-x - 13 e^x cos 2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^x + C2 e^-x - 13 e^x cos 2x

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