Resolva, usando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver usando o método dos coeficientes a determinar, precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume uma solução do tipo
e substitui na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Então, as raízes características são:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que vão depender das condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos achar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular do tipo:
Aqui,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
.
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
e
na equação original:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Igualamos os coeficientes dos termos de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Resolvendo as equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 9
Agora, temos os valores de
e
:
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: