Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
(e) sumn=1^infty 21+e^n.
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Para quais valores de p cada série abaixo é convergente?
(a) sumn=1^infty (-1)^n-1n^p;

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (e) verificar, via Teste da Integral, a convergência de
sumn=1^infty 21+e^n,
  • (a) determinar para quais valores de p a série
sumn=1^infty (-1)^n-1n^p
é convergente.
Para (e) vamos usar o Teste da Integral, que diz: se f(x) é contínua, positiva e decrescente em [1,infty), então sum f(n) converge ou diverge junto com integral1^inftyf(x),dx. Para (a) vamos usar o Critério de Leibniz (série alternada) e também comparar a convergência absoluta.

Passo 2

Considere em (e) a função
f(x)=21+e^x, x>=1
  1. f é positiva e contínua para todo x.
  2. A derivada
f'(x) =ddxl(2(1+e^x)^-1r) =-2e^x(1+e^x)^2
é negativa para todo x, logo f é decrescente.
Assim podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Calculemos
integral1^infty21+e^x,dx
Use a substituição u=e^x, então du=e^x,dx e dx=duu. Quando x=1, u=e; quando xtoinfty, utoinfty.
integral1^infty21+e^x,dx =integrale^infty21+u,duu =integrale^inftyl(2u-21+ur),du
Agora integramos em partes simples:
integral2u,du=2ln u, integral21+u,du=2ln(1+u)
Logo
integrale^inftyl(2u-21+ur),du =limUtoinftyl[2ln u-2ln(1+u)r]u=e^u=U =limUtoinfty2lnu1+u|e^U
Como U1+Uto1, a parte em U tende a 2ln1=0. Assim o valor do integral é finito:
0-l(2lne1+er)=2lnl(1+er)-2
É um número finito, logo a integral converge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, como integral1^inftyf(x),dx converge, a série
sumn=1^infty21+e^n
também converge.

Passo 5

Na série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1n^p,
defina an = 1/n^p. Sabemos pelo Critério de Leibniz que a série alternada converge se
  1. an é decrescente a partir de algum N, e
  2. limntoinftyan=0.
    Aqui an é decrescente e tende a zero exatamente quando p>0. Logo para p>0 a série converge.
Para convergência absoluta examinamos
sum 1/n^p, que é a série-p usual e converge somente se p>1.
  • Se p>1, a série alternada converge absolutamente.
  • Se 0<p<=1, a série alternada converge, mas não convergente absolutamente (convergência condicional).
  • Se p<=0, annotto0 e a série diverge.

Resposta

(e) A série sumn=1^infty21+e^n converge pelo Teste da Integral.
(a) A série sumn=1^infty(-1)^n-1n^p converge se, e somente se, p>0. É absolutamente convergente para p>1 e condicionalmente convergente para 0<p<=1.

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