Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
(e) .
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Para quais valores de cada série abaixo é convergente?
(a) ;
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(e) verificar, via Teste da Integral, a convergência de
(a) determinar para quais valores de a série
é convergente.
Para (e) vamos usar o Teste da Integral, que diz: se é contínua, positiva e decrescente em , então converge ou diverge junto com . Para (a) vamos usar o Critério de Leibniz (série alternada) e também comparar a convergência absoluta.
Passo 2
Considere em (e) a função
é positiva e contínua para todo .
A derivada
é negativa para todo , logo é decrescente.
Assim podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Calculemos
Use a substituição , então e . Quando , ; quando , .
Agora integramos em partes simples:
Logo
Como U1+Uto1, a parte em U tende a 2ln1=0. Assim o valor do integral é finito:
0-l(2lne1+er)=2lnl(1+er)-2
É um número finito, logo a integral converge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, como integral1^inftyf(x),dx converge, a série
sumn=1^infty21+e^n
também converge.
Passo 5
Na série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1n^p,
defina an = 1/n^p. Sabemos pelo Critério de Leibniz que a série alternada converge se
an é decrescente a partir de algum N, e
limntoinftyan=0.
Aqui an é decrescente e tende a zero exatamente quando p>0. Logo para p>0 a série converge.
Para convergência absoluta examinamos sum 1/n^p, que é a série-p usual e converge somente se p>1.
Se p>1, a série alternada converge absolutamente.
Se 0<p<=1, a série alternada converge, mas não convergente absolutamente (convergência condicional).
Se p<=0, annotto0 e a série diverge.
Resposta
(e) A série sumn=1^infty21+e^n converge pelo Teste da Integral.
(a) A série sumn=1^infty(-1)^n-1n^p converge se, e somente se, p>0. É absolutamente convergente para p>1 e condicionalmente convergente para 0<p<=1.