Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
3^{-x}=243

Passo 1

O enunciado dá a equação
3^{-x}=243
e pede para resolver para x. Ou seja: encontrar o número real x que torna essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Idéia principal: escrever os dois lados como potências da mesma base. Vamos decompor 243 em potências de 3. Calculando potências de 3:
3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81,\quad 3^5=243.
Portanto podemos escrever
243=3^5.

Passo 3

Substituindo essa expressão na equação original obtemos
3^{-x}=3^5.
Agora usamos uma propriedade fundamental das potências: se a^u=a^v com a>0 e a\neq1, então necessariamente u=v. Isso acontece porque a função exponencial com base fixa é injetora (não assume o mesmo valor para dois expoentes diferentes).

Passo 4

Aplicando a propriedade acima aos expoentes, igualamos:
- x = 5.
Agora resolvemos essa equação linear para x. Somando x dos dois lados e subtraindo 5 de ambos ou simplesmente multiplicando por -1, obtemos
x = -5.

Passo 5

Verificação (sempre bom checar): substituindo x=-5 na original,
3^{-x}=3^{-(-5)}=3^{5}=243,
o que confirma que a solução encontrada é correta.

Resposta

x=-5

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