Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
3^{x}=\frac{1}{729}

Passo 1

O enunciado dá a equação
3^{x}=\frac{1}{729}
e pede encontrar o valor de x.
Informações importantes fornecidas:
  • A base da potência do lado esquerdo é 3.
  • O lado direito é a fração \dfrac{1}{729}.

Passo 2

Primeiro, identificar 729 como uma potência de 3. Vou calcular as potências de 3 até encontrar 729:
3^{1}=3,\quad 3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81,\quad 3^{5}=243,\quad 3^{6}=729.
Portanto, verifiquei que 729=3^{6}.

Passo 3

Reescrever o lado direito usando essa igualdade:
\frac{1}{729}=\frac{1}{3^{6}}.

Passo 4

Aplicar a propriedade de expoentes que define expoente negativo. Regra:
\text{Para todo }a\neq0\text{ e todo inteiro }n\ge 0,\quad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Exemplo rápido para fixar: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.
Usando essa regra, podemos escrever
\frac{1}{3^{6}}=3^{-6}.

Passo 5

Agora a equação original fica
3^{x}=3^{-6}.
Usamos a propriedade: se a^{u}=a^{v} com a>0 e a\neq1, então os expoentes são iguais, isto é, u=v. (Intuição: a função a^{t} é injetora nessas condições, não dá dois expoentes distintos com o mesmo valor.)

Passo 6

Pelo passo anterior, os expoentes que geraram as potências iguais precisam ser iguais. Portanto, concluímos qual é o valor de x.

Resposta

x=-6

Exercícios relacionados