Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
2^{3 x+3}-64=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^{3x+3}-64=0.
Ou seja: encontrar o(s) valor(es) de x que tornam essa igualdade verdadeira. As informações que temos explicitamente são:
  • a expressão exponencial 2^{3x+3};
  • o número constante 64;
  • a equação completa \,2^{3x+3}-64=0.

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas de potências. Duas propriedades que vamos precisar e que vale lembrar com calma são:
  • Para qualquer base a>0 com a\neq1, a função t\mapsto a^{t} é injetora (ou seja, se a^{u}=a^{v} então u=v). Isso nos permite igualar expoentes quando as bases são iguais.
  • Podemos reescrever potências conhecidas como potências da mesma base, por exemplo transformar 64 em uma potência de 2 porque 64 é potência de 2.
Explico melhor: na equação a^{u}=a^{v} (com a>0 e a\neq1) não podem existir dois expoentes diferentes que gerem o mesmo valor, logo u=v. Aqui a base é a=2, que satisfaz as condições, então esse raciocínio vale.

Passo 3

Isolamos a potência na equação somando 64 aos dois lados:
2^{3x+3}=64.

Passo 4

Escrevemos 64 como potência de 2. Sabemos que
2^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64,
então
64=2^6.

Passo 5

Substituindo na equação temos
2^{3x+3}=2^{6}.
Pela propriedade da injetividade da função exponencial com base 2 (explicada no Passo 2), os expoentes devem ser iguais. Portanto
3x+3=6.

Passo 6

Agora resolvemos a equação linear em x. Subtraindo 3 dos dois lados:
3x=3.
Dividindo por 3:
x=1.

Passo 7

Cheque rápido: substituindo x=1 na equação original:
2^{3\cdot1+3}-64=2^{6}-64=64-64=0,
logo a solução está correta.

Passo 8

Dica prática para a prova: sempre que aparecer uma potência igual a um número conhecido, tente reescrever esse número na mesma base da potência. Por exemplo, para resolver \,4^{2x-1}=32 nota-se que 4=2^{2} e 32=2^{5}, então transforma-se tudo em base 2 e igualam-se os expoentes. Isso costuma ser o caminho mais rápido.

Resposta

x=1

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