Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação exponencial
Ou seja: encontrar o(s) valor(es) de
que tornam essa igualdade verdadeira. As informações que temos explicitamente são:
- a expressão exponencial
; - o número constante
; - a equação completa
.
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas de potências. Duas propriedades que vamos precisar e que vale lembrar com calma são:
- Para qualquer base
com , a função é injetora (ou seja, se então ). Isso nos permite igualar expoentes quando as bases são iguais. - Podemos reescrever potências conhecidas como potências da mesma base, por exemplo transformar
em uma potência de porque é potência de .
Explico melhor: na equação
(com
e
) não podem existir dois expoentes diferentes que gerem o mesmo valor, logo
. Aqui a base é
, que satisfaz as condições, então esse raciocínio vale.
Passo 3
Isolamos a potência na equação somando
aos dois lados:
Passo 4
Escrevemos
como potência de
. Sabemos que
então
Passo 5
Substituindo na equação temos
Pela propriedade da injetividade da função exponencial com base
(explicada no Passo 2), os expoentes devem ser iguais. Portanto
Passo 6
Agora resolvemos a equação linear em
. Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 7
Cheque rápido: substituindo
na equação original:
logo a solução está correta.
Passo 8
Dica prática para a prova: sempre que aparecer uma potência igual a um número conhecido, tente reescrever esse número na mesma base da potência. Por exemplo, para resolver
nota-se que
e
, então transforma-se tudo em base
e igualam-se os expoentes. Isso costuma ser o caminho mais rápido.