Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
8^{3 x}=\sqrt[3]{32^{x}}: 4^{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
8^{3x}=\sqrt[3]{32^{x}}:4^{x-1}.
Aqui o símbolo dois-pontos significa divisão, ou seja o lado direito é \dfrac{\sqrt[3]{32^{x}}}{4^{x-1}}.
Informações úteis fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
  • a base 8 aparece no lado esquerdo;
  • aparecem 32 e 4 no lado direito;
  • o objeto a encontrar é o número real x.

Passo 2

Vou listar as propriedades de expoentes que vou usar (explicando cada uma de forma simples):
  • Potência de potência: (a^{m})^{n}=a^{mn}. Ex.: (2^{3})^{4}=2^{12}.
  • Potência de expoente fracionário / radical: \sqrt[n]{a^{m}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}. Ex.: \sqrt[3]{2^{6}}=2^{6/3}=2^{2}.
  • Divisão de potências de mesma base: \dfrac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}. Ex.: \dfrac{2^{5}}{2^{2}}=2^{3}.
  • Se a>0 e a\neq1, então a^{u}=a^{v} implica u=v. Usamos isso para igualar expoentes quando as bases ficarem iguais.
Essas regras permitem reescrever tudo com uma mesma base (aqui é conveniente usar \,2) e resolver a equação comparando expoentes.

Passo 3

Reescrevo as bases como potências de \,2:
8=2^{3},\qquad 32=2^{5},\qquad 4=2^{2}.
Agora calculo o lado esquerdo usando potências de potência:
8^{3x}=(2^{3})^{3x}=2^{3\cdot 3x}=2^{9x}.

Passo 4

Calculo o numerador do lado direito (a raiz cúbica):
\sqrt[3]{32^{x}}=(32^{x})^{1/3}=32^{x/3}=(2^{5})^{x/3}=2^{5x/3}.

Passo 5

Calculo o denominador do lado direito:
4^{x-1}=(2^{2})^{x-1}=2^{2(x-1)}=2^{2x-2}.

Passo 6

Faço a divisão no lado direito usando a regra \dfrac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}:
\frac{\sqrt[3]{32^{x}}}{4^{x-1}}=\frac{2^{5x/3}}{2^{2x-2}}=2^{\frac{5x}{3}-(2x-2)}.
Agora simplifico o expoente:
\frac{5x}{3}-(2x-2)=\frac{5x}{3}-2x+2=\frac{5x-6x}{3}+2=-\frac{x}{3}+2.
Portanto o lado direito vale 2^{-x/3+2}.

Passo 7

Voltando à equação original, temos agora
2^{9x}=2^{-x/3+2}.
Como a base 2 é positiva e distinta de 1, posso igualar os expoentes:
9x=-\frac{x}{3}+2.
Multiplico ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
27x=-x+6.
Passo -x para o lado esquerdo:
27x+x=6 \Longrightarrow 28x=6.
Divido por 28:
x=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}.

Passo 8

Cheque rápido (verificação): calcular os expoentes finais dos dois lados com x=\dfrac{3}{14}.
Lado esquerdo: 9x=9\cdot\dfrac{3}{14}=\dfrac{27}{14}.
Lado direito: -\dfrac{x}{3}+2=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{14}+2=-\dfrac{1}{14}+2=\dfrac{27}{14}.
Como os expoentes coincidem, a solução está correta.

Resposta

\dfrac{3}{14}

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