Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
(0.3)^{x-3}=(0,09)^{5 x+1}

Passo 1

O enunciado dá a equação
(0,3)^{x-3}=(0,09)^{5x+1}
e pede para encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes fornecidas:
  • A base do membro esquerdo é (0,3).
  • A base do membro direito é (0,09).
  • Os expoentes dependem linearmente de x: x-3 e 5x+1.
    A tarefa é resolver essa equação exponencial para x.

Passo 2

Procuramos escrever ambas as potências com a mesma base, pois isso facilita muito a resolução. Observe que
(0,3)^2 = 0,3\cdot0,3 = 0,09.
Logo, pode-se escrever (0,09) como (0,3)^2. Peguei esse fato calculando a multiplicação (0,3)\cdot(0,3).

Passo 3

Usando a identidade de potências (a^b)^c = a^{bc}, reescrevemos o membro direito:
(0,09)^{5x+1} = \big((0,3)^2\big)^{5x+1} = (0,3)^{2(5x+1)}.
Explicação rápida da identidade: elevar uma potência a outra multiplica os expoentes — por exemplo (2^3)^4 = 2^{3\cdot4}=2^{12}.

Passo 4

Agora a equação fica
(0,3)^{x-3} = (0,3)^{2(5x+1)}.
Como a base 0,3 é positiva e diferente de 1, vale a propriedade: se a>0 e a\neq1, então a^u=a^v implica u=v. Portanto podemos igualar os expoentes:
x-3 = 2(5x+1).

Passo 5

Resolvendo a equação linear obtida:
x-3 = 2(5x+1)
x-3 = 10x+2
Passando os termos com x para um lado e constantes para o outro:
x-10x = 2+3
-9x = 5
x = -\dfrac{5}{9}.

Passo 6

Verificação rápida (mental): com x=-\dfrac{5}{9} tem-se x-3 = -\dfrac{5}{9}-3 = -\dfrac{32}{9} e 2(5x+1)=2\big(5\cdot(-\tfrac{5}{9})+1\big)=2\big(-\tfrac{25}{9}+\tfrac{9}{9}\big)=2\big(-\tfrac{16}{9}\big)=-\tfrac{32}{9}. Os expoentes coincidem, logo a igualdade das potências se mantém.

Resposta

x=-\dfrac{5}{9}

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