Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
\sqrt[5]{4^{x}}=\frac{1}{\sqrt{8}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\sqrt[5]{4^{x}}=\frac{1}{\sqrt{8}}
e pede para encontrar o valor de x. Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • O lado esquerdo é a quinta raiz de 4^{x}.
  • O lado direito é o inverso da raiz quadrada de 8.

Passo 2

Primeira ideia útil: transformar raízes em potências fracionárias. Regra: a raiz enésima de a é a^{1/n}. Aplicando isso:
\sqrt[5]{4^{x}}=(4^{x})^{\tfrac{1}{5}}=4^{\tfrac{x}{5}}.
Também escrever o lado direito como potência com expoente negativo (lembre: a^{-m}=1/a^{m}):
\frac{1}{\sqrt{8}}=8^{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 3

Próxima ideia: escrever ambas as bases como potências da mesma base (aqui a base 2 é conveniente), porque 4 e 8 são potências de 2:
4=2^{2},\qquad 8=2^{3}.
Substituindo nas expressões de cada lado:
4^{\tfrac{x}{5}}=(2^{2})^{\tfrac{x}{5}}=2^{\tfrac{2x}{5}},
8^{-\tfrac{1}{2}}=(2^{3})^{-\tfrac{1}{2}}=2^{-\tfrac{3}{2}}.

Passo 4

Agora temos uma igualdade entre potências de mesma base positiva diferente de 1:
2^{\tfrac{2x}{5}}=2^{-\tfrac{3}{2}}.
Regra usada: se a^{m}=a^{n} com a>0 e a\neq1, então m=n. Portanto podemos igualar os expoentes:
\frac{2x}{5}=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Resolver a equação linear para x. Multiplico ambos os lados por 5 para eliminar o denominador do lado esquerdo:
2x=-\frac{3}{2}\cdot 5=-\frac{15}{2}.
Agora divido ambos os lados por 2:
x=-\frac{15}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{15}{4}.

Passo 6

Verificação rápida (substituir x de volta): com x=-\tfrac{15}{4},
\text{LHS}=4^{\tfrac{x}{5}}=4^{-\tfrac{15}{20}}=4^{-\tfrac{3}{4}}=(2^{2})^{-\tfrac{3}{4}}=2^{-\tfrac{3}{2}}.
E
\text{RHS}= \frac{1}{\sqrt{8}}=8^{-\tfrac{1}{2}}=(2^{3})^{-\tfrac{1}{2}}=2^{-\tfrac{3}{2}}.
Como LHS = RHS, a solução está correta.

Resposta

x=-\tfrac{15}{4}

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