Calcular as integrais e, em seguida, derivar as respostas para verificar os resultados:
\int e^{x}-e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(e^{x} - e^{-x}\bigr)\,dx
e em seguida verificar o resultado derivando-o. Vamos usar o fato de que para qualquer constante a válida
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{a x}
e a regra da derivada de exponencial.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int \bigl(e^{x} - e^{-x}\bigr)\,dx = \int e^{x}\,dx \;-\; \int e^{-x}\,dx.
Agora aplicamos a fórmula:
\int e^{x}\,dx = e^{x}, \qquad \int e^{-x}\,dx = \frac{1}{-1}\,e^{-x} = -\,e^{-x}.
Logo,
\int \bigl(e^{x} - e^{-x}\bigr)\,dx = e^{x} - \bigl(-\,e^{-x}\bigr) = e^{x} + e^{-x}.

Passo 3

Não podemos esquecer a constante de integração C. Portanto, a antiderivada geral é
F(x) = e^{x} + e^{-x} + C.

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x} + e^{-x} + C\bigr) = e^{x} + \bigl(-1\bigr)\,e^{-x} + 0 = e^{x} - e^{-x},
que de fato coincide com o integrando original.

Resposta

A integral é
\int \bigl(e^{x} - e^{-x}\bigr)\,dx = e^{x} + e^{-x} + C,
e sua verificação pela derivada confirma que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x} + e^{-x} + C\bigr) = e^{x} - e^{-x}.

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