Seja C a fronteira orientada positivamente do quadrado de lados delimitados pelas retas x= pm 2 e y= pm 2. Calcule cada uma das integrais dadas.
integralC cos zz(z^2+8) d z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de contorno sobre a fronteira $ C $ de um quadrado com lados entre $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. A integral é:
C
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, especificamente o Teorema dos Resíduos. Precisamos identificar os pontos onde a função tem “singularidades” (pontos onde ela não é bem definida) dentro do contorno $ C $ e calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função $ \frac{\cos z}{z(z^{2} + 8)} $. Essas singularidades são os valores de $ z $ que fazem o denominador igual a zero:
cos zz(z^2 + 8)
Então, temos três singularidades: $ z = 0 $, $ z = 2\sqrt{2}i $, e $ z = -2\sqrt{2}i $.

Passo 3

Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno $ C $. O contorno é um quadrado com lados entre $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $, então estamos considerando números complexos $ z = x + iy $ onde $ x $ e $ y $ estão entre -2 e 2.
A singularidade $ z = 0 $ está claramente dentro do quadrado. Já $ z = \pm 2\sqrt{2}i $ têm parte imaginária $ \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2,828 $, que está fora do intervalo C . Portanto, apenas $ z = 0 $ está dentro do contorno $ C $.

Passo 4

Como $ z = 0 $ é uma singularidade simples (pole de ordem 1), vamos calcular o resíduo da função nesse ponto. O resíduo de uma função $ \frac{f(z)}{g(z)} $ em um pólo simples $ z_0 $ é dado por:
z = 0
No nosso caso, $ f(z) = \cos z $ e $ g(z) = z(z^{2} + 8) $. Calculando a derivada de $ g(z) $:
f(z)g(z)
Avaliando em $ z = 0 $:
z0

Passo 5

Agora que temos o resíduo, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de contorno é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Como só temos um resíduo $ \frac{1}{8} $:
2pi i

Resposta

integralC cos zz(z^2 + 8) , dz = pi i4

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