Seja
a fronteira orientada positivamente do quadrado de lados delimitados pelas retas
e
. Calcule cada uma das integrais dadas.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de contorno sobre a fronteira $ C $ de um quadrado com lados entre $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. A integral é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, especificamente o Teorema dos Resíduos. Precisamos identificar os pontos onde a função tem “singularidades” (pontos onde ela não é bem definida) dentro do contorno $ C $ e calcular os resíduos nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função $ \frac{\cos z}{z(z^{2} + 8)} $. Essas singularidades são os valores de $ z $ que fazem o denominador igual a zero:
Então, temos três singularidades: $ z = 0 $, $ z = 2\sqrt{2}i $, e $ z = -2\sqrt{2}i $.
Passo 3
Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno $ C $. O contorno é um quadrado com lados entre $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $, então estamos considerando números complexos $ z = x + iy $ onde $ x $ e $ y $ estão entre -2 e 2.
A singularidade $ z = 0 $ está claramente dentro do quadrado. Já $ z = \pm 2\sqrt{2}i $ têm parte imaginária $ \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2,828 $, que está fora do intervalo
. Portanto, apenas $ z = 0 $ está dentro do contorno $ C $.
Passo 4
Como $ z = 0 $ é uma singularidade simples (pole de ordem 1), vamos calcular o resíduo da função nesse ponto. O resíduo de uma função $ \frac{f(z)}{g(z)} $ em um pólo simples $ z_0 $ é dado por:
No nosso caso, $ f(z) = \cos z $ e $ g(z) = z(z^{2} + 8) $. Calculando a derivada de $ g(z) $:
Avaliando em $ z = 0 $:
Passo 5
Agora que temos o resíduo, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de contorno é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Como só temos um resíduo $ \frac{1}{8} $: