Seja
a fronteira orientada positivamente do quadrado de lados delimitados pelas retas
e
. Calcule cada uma das integrais dadas.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de contorno no campo dos números complexos. Mais especificamente, temos um contorno $ C $ que é a borda de um quadrado com lados definidos pelas retas $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. A integral que precisamos calcular é:
Para resolver isso, vamos usar a Fórmula de Cauchy, que é uma ferramenta poderosa no cálculo de integrais de funções complexas ao longo de contornos fechados. Precisamos entender onde está o ponto singular (onde a função pode não ser analítica) dentro do contorno $ C $ para aplicar essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto singular da função que estamos integrando. A função é:
O denominador $ z - \frac{\pi i}{2} $ se zera quando $ z = \frac{\pi i}{2} $. Esse é o ponto singular, ou seja, o ponto onde a função pode ter um comportamento estranho (não ser analítica).
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto singular $ z = \frac{\pi i}{2} $ está dentro do contorno $ C $. Nosso contorno é o quadrado com $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. Vamos calcular a parte imaginária de $ z = \frac{\pi i}{2} $:
Como $ y = \pm 2 $, e $ 1,57 < 2 $, o ponto $ \frac{\pi i}{2} $ está dentro do contorno $ C $.
Passo 4
Agora que sabemos que o ponto singular está dentro do contorno, podemos aplicar a Fórmula de Cauchy para integrais de contorno. A fórmula diz que se $ f(z) $ é analítica dentro e sobre $ C $, exceto em um ponto $ z_0 $ dentro de $ C $, então:
No nosso caso, $ f(z) = e^{-z} $ e $ z_0 = \frac{\pi i}{2} $.
Passo 5
Aplicando a fórmula, substituímos $ z_0 $ na função $ f(z) $:
Então, a integral fica:
Passo 6
Finalmente, podemos simplificar a expressão $ e^{-\frac{\pi i}{2}} $. Sabemos que:
Então,
Resposta
Substituindo de volta, temos:
Então, o valor da integral é $ 2\pi $.