Seja C a fronteira orientada positivamente do quadrado de lados delimitados pelas retas x= pm 2 e y= pm 2. Calcule cada uma das integrais dadas.
integralC e^-z d zz-(pi i / 2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de contorno no campo dos números complexos. Mais especificamente, temos um contorno $ C $ que é a borda de um quadrado com lados definidos pelas retas $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. A integral que precisamos calcular é:
C
Para resolver isso, vamos usar a Fórmula de Cauchy, que é uma ferramenta poderosa no cálculo de integrais de funções complexas ao longo de contornos fechados. Precisamos entender onde está o ponto singular (onde a função pode não ser analítica) dentro do contorno $ C $ para aplicar essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto singular da função que estamos integrando. A função é:
f(z) = e^-zz - (pi i2)
O denominador $ z - \frac{\pi i}{2} $ se zera quando $ z = \frac{\pi i}{2} $. Esse é o ponto singular, ou seja, o ponto onde a função pode ter um comportamento estranho (não ser analítica).

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto singular $ z = \frac{\pi i}{2} $ está dentro do contorno $ C $. Nosso contorno é o quadrado com $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. Vamos calcular a parte imaginária de $ z = \frac{\pi i}{2} $:
z = pi i2 á
Como $ y = \pm 2 $, e $ 1,57 < 2 $, o ponto $ \frac{\pi i}{2} $ está dentro do contorno $ C $.

Passo 4

Agora que sabemos que o ponto singular está dentro do contorno, podemos aplicar a Fórmula de Cauchy para integrais de contorno. A fórmula diz que se $ f(z) $ é analítica dentro e sobre $ C $, exceto em um ponto $ z_0 $ dentro de $ C $, então:
f(z)
No nosso caso, $ f(z) = e^{-z} $ e $ z_0 = \frac{\pi i}{2} $.

Passo 5

Aplicando a fórmula, substituímos $ z_0 $ na função $ f(z) $:
z0
Então, a integral fica:
f(z)

Passo 6

Finalmente, podemos simplificar a expressão $ e^{-\frac{\pi i}{2}} $. Sabemos que:
e^-pi i2
Então,
e^itheta = cos(theta) + isin(theta)

Resposta

Substituindo de volta, temos:
integralC e^-zz - (pi i2) , dz = 2pi i cdot (-i) = 2pi
Então, o valor da integral é $ 2\pi $.

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