Calcule.
integral sen^2 2 x cos ^2 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin^2(2x)cos^2(3x),dx. O conteúdo principal é integração usando identidades trigonométricas (fórmulas de semienga e produto-para-soma). Vamos precisar das expressões de sin^2 e cos^2 em função de cossenos de ângulo duplo.

Passo 2

Aplicar as fórmulas de semienga:
sin^2(2x)=1-cos(4x)2, cos^2(3x)=1+cos(6x)2

Passo 3

Multiplicar as duas identidades e expandir:
sin^2(2x)cos^2(3x)=14(1-cos(4x))(1+cos(6x)) =14l(1+cos(6x)-cos(4x)-cos(4x)cos(6x)r)
Em seguida usar a fórmula produto-para-soma
cos(4x)cos(6x)=cos(10x)+cos(2x)2
para escrever tudo como soma de cossenos.

Passo 4

Simplificar o integrando:
sin^2(2x)cos^2(3x)=14-14cos(4x)+14cos(6x)-18cos(10x)-18cos(2x)

Passo 5

Integrar termo a termo lembrando que integral cos(kx),dx=tfrac1ksin(kx):
integralsin^2(2x)cos^2(3x)dx =integrall(tfrac14-tfrac14cos(4x)+tfrac14cos(6x)-tfrac18cos(10x)-tfrac18cos(2x)r)dx
=x4-sin(4x)16+sin(6x)24-sin(10x)80-sin(2x)16+C

Resposta

x4-sin(4x)16+sin(6x)24-sin(10x)80-sin(2x)16+C

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