Comando para a, e b. Dez (10) amostras de lodo de uma estação de tratamento de efluentes piloto (Borges e Chernicharo, 2009) forneceram um valor médio de DBO total (g/L) de 12,948 e desvio padrão de 4,459 . Com base nessas informações, responda as perguntas a seguir.
a) Estabeleça as suposições pertinentes ao problema e construa um intervalo de confiança de 95 \% para a verdadeira média \mu e desvio padrão \sigma.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Amostra com n=10 observações de DBO total (g/L).
  • Média amostral \bar{x}=12,948.
  • Desvio-padrão amostral s=4,459.
  • Pedidos:
    1. Estabelecer as suposições pertinentes ao problema.
    2. Construir um intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira média \mu.
    3. Construir um intervalo de confiança de 95\% para o verdadeiro desvio-padrão \sigma.

Passo 2

Suposições pertinentes (muito importantes — expliquei cada uma porque você pode precisar justificar na prova):
  • Suponho que as 10 amostras são independentes e obtidas por amostragem aleatória da população. Explicando: isso garante que não haja correlação entre observações; se houver dependência, as fórmulas abaixo não valem.
  • Suponho que a população de onde as amostras vêm é aproximadamente normal. Explicando: para n pequeno (aqui n=10), os intervalos baseados na distribuição t (para a média) e na distribuição qui-quadrado (para a variância/desvio) exigem normalidade da população. Se n fosse grande, poderíamos relaxar essa hipótese.
  • Uso s como estimador do desvio-padrão populacional \sigma e \bar{x} como estimador de \mu.
Estas suposições são padrão para construir ICs clássicos com pequena amostra.

Passo 3

Intervalo de confiança de 95\% para a média \mu.
  • Fórmula geral (quando a variância populacional é desconhecida e n é pequeno):
\bar{x}\pm t_{n-1,\,1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral ( =12,948);
  • s é o desvio-padrão amostral ( =4,459);
  • n é o tamanho da amostra ( =10);
  • t_{n-1,\,1-\alpha/2} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, nível de confiança 1-\alpha. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e precisamos de t_{9,\,0,975}.
  • Valor crítico:
t_{9,\,0,975}\approx 2,262.
(é um valor tabelado da distribuição t com 9 graus de liberdade.)
  • Cálculo do erro-padrão e da margem:
\text{erro-padrão}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4,459}{\sqrt{10}}.ã
\sqrt{10}\approx 3,1623, logo
\text{erro-padrão}\approx\frac{4,459}{3,1623}\approx 1,412.ã
(Mostrei o cálculo para você poder refazer com papel e caneta.)
Agora a margem de erro:
\text{margem}=t_{9,0,975}\times \text{erro-padrão}\approx 2,262\times 1,412\approx 3,191.ã
  • Intervalo:
\bar{x}\pm\text{margem}=12,948\pm 3,191.
Portanto:
\text{IC}_{95\%}\\ \text{para }\mu \approx (12,948-3,191,\;12,948+3,191)=(9,757,\;16,139).

Passo 4

Intervalo de confiança de 95\% para o desvio-padrão \sigma (via variância e distribuição qui-quadrado).
  • Conceito e fórmula: a estatística (n-1)S^{2}/\sigma^{2} tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade quando a população é normal. Assim, um intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \sigma^{2} é
\left(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}},\;\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}}\right),
e para \sigma tomamos as raízes quadradas dos extremos:
\left(\sqrt{\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}}},\;\sqrt{\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}}}\right).
Expliquei: \chi^{2}_{p,\,\nu} é o quantil tal que P(\chi^{2}_{\nu}\le \chi^{2}_{p,\,\nu})=p.
  • Para n=10, temos n-1=9. Para nível 95\% ( \alpha=0,05), precisamos dos quantis:
\chi^{2}_{0,975,\,9}\quad\text{e}\quad \chi^{2}_{0,025,\,9}.
Valores tabelados (da tabela qui-quadrado):
\chi^{2}_{0,975,\,9}\approx 19,023,\qquad \chi^{2}_{0,025,\,9}\approx 1,735.

Passo 5

Cálculo numérico do intervalo para \sigma.
  • Primeiro calcule s^{2}:
s^{2}=4,459^{2}\approx 19,8827.
  • Calcule (n-1)s^{2}:
(n-1)s^{2}=9\times 19,8827\approx 178,9443.
  • Limite inferior para \sigma^{2}:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0,975,9}}\approx\frac{178,9443}{19,023}\approx 9,409.
  • Limite superior para \sigma^{2}:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0,025,9}}\approx\frac{178,9443}{1,735}\approx 103,150.
  • Tomando raízes quadradas para obter o intervalo para \sigma:
\sigma\in\left(\sqrt{9,409},\;\sqrt{103,150}\right)\approx(3,068,\;10,156).
Interpretação rápida (para te dar confiança): com 95\% de confiança a verdadeira média de DBO está entre aproximadamente 9,76 e 16,14 g/L, e o verdadeiro desvio-padrão entre aproximadamente 3,07 e 10,16 g/L.

Resposta

\mu\in(9,757,\;16,139)
\sigma\in(3,068,\;10,156)

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