Comando para a, e b. Dez (10) amostras de lodo de uma estação de tratamento de efluentes piloto (Borges e Chernicharo, 2009) forneceram um valor médio de DBO total (g/L) de 12,948 e desvio padrão de 4,459 . Com base nessas informações, responda as perguntas a seguir.
a) Estabeleça as suposições pertinentes ao problema e construa um intervalo de confiança de 95 \% para a verdadeira média \mu e desvio padrão \sigma.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
Amostra com n=10 observações de DBO total (g/L).
Média amostral \bar{x}=12,948.
Desvio-padrão amostral s=4,459.
Pedidos:
Estabelecer as suposições pertinentes ao problema.
Construir um intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira média \mu.
Construir um intervalo de confiança de 95\% para o verdadeiro desvio-padrão \sigma.
Passo 2
Suposições pertinentes (muito importantes — expliquei cada uma porque você pode precisar justificar na prova):
Suponho que as 10 amostras são independentes e obtidas por amostragem aleatória da população. Explicando: isso garante que não haja correlação entre observações; se houver dependência, as fórmulas abaixo não valem.
Suponho que a população de onde as amostras vêm é aproximadamente normal. Explicando: para n pequeno (aqui n=10), os intervalos baseados na distribuição t (para a média) e na distribuição qui-quadrado (para a variância/desvio) exigem normalidade da população. Se n fosse grande, poderíamos relaxar essa hipótese.
Uso s como estimador do desvio-padrão populacional \sigma e \bar{x} como estimador de \mu.
Estas suposições são padrão para construir ICs clássicos com pequena amostra.
Passo 3
Intervalo de confiança de 95\% para a média \mu.
Fórmula geral (quando a variância populacional é desconhecida e n é pequeno):
t_{n-1,\,1-\alpha/2} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, nível de confiança 1-\alpha. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e precisamos de t_{9,\,0,975}.
Valor crítico:
t_{9,\,0,975}\approx 2,262.
(é um valor tabelado da distribuição t com 9 graus de liberdade.)
Intervalo de confiança de 95\% para o desvio-padrão \sigma (via variância e distribuição qui-quadrado).
Conceito e fórmula: a estatística (n-1)S^{2}/\sigma^{2} tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade quando a população é normal. Assim, um intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \sigma^{2} é
Interpretação rápida (para te dar confiança): com 95\% de confiança a verdadeira média de DBO está entre aproximadamente 9,76 e 16,14 g/L, e o verdadeiro desvio-padrão entre aproximadamente 3,07 e 10,16 g/L.