Calcule as integrais triplas a seguir:
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y(2 x^2 y) d z d y d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral tripla
integral-1^2integral1^x^2integral0^x+y2x^2y,dz,dy,dx.
O tópico é integrais triplas em coordenadas cartesianas e vamos usar o Teorema de Fubini para integrar passo a passo em z, depois y e por último x.

Passo 2

Na primeira etapa, integramos em z, lembrando que o integrando não depende de z. Temos:
integral0^x+y2x^2y,dz = 2x^2y,(x+y) = 2x^3y + 2x^2y^2

Passo 3

Agora, integramos em y de 1 a x^2. Separamos as parcelas:
integral1^x^2(2x^3y + 2x^2y^2),dy =2x^3integral1^x^2y,dy + 2x^2integral1^x^2y^2,dy
Calculando cada uma:
2x^3cdoty^22|1^x^2 + 2x^2cdoty^33|1^x^2 = x^3(x^4-1) + 23x^2(x^6-1)
Simplificando, fica
x^7 - x^3 + 23x^8 - 23x^2

Passo 4

Em seguida, integramos em x de -1 a 2. A antiderivada de
x^7 + tfrac23x^8 - x^3 - tfrac23x^2
é
x^88 + 2x^927 - x^44 - 2x^39

Passo 5

Por fim, avaliamos essa expressão em x=2 e x=-1 e fazemos a diferença:
F(2)=32 + 102427 -4 - 169 = 173227, F(-1)=18 - 227 - 14 + 29 = 5216
Logo,
F(2)-F(-1) = 13851216 = 5138
Então a integral vale tfrac5138.

Resposta

5138

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