Resolva
onde
e
, satisfaz as condições:
Passo 1
A questão pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace
na “meia-tira”
, com condições de contorno
,
e
. Vamos usar a transformada seno em
para resolver.
Passo 2
Definimos a transformada seno de
em
:
Aplicando ao PDE, temos
A solução geral em
é
Passo 3
Em
a condição
dá
$$U(0,\lambda)=\int_0^{\infty}f(x)\sin(\lambda x),dx=:F(\lambda).
o que leva a
Passo 4
Substituindo em
e impondo
obtemos
$$U(y,\lambda)=A\bigl(e^{\lambda y}-e{4\lambda}e{-\lambda y}\bigr),\qquad A(1-e^{4\lambda})=F(\lambda).
=F(\lambda)\frac{\sinh[\lambda(2-y)]}{\sinh(2\lambda)}.$$
Passo 5
Finalmente, invertendo a transformada seno, obtemos
$$u(x,y)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}U(y,\lambda)\sin(\lambda x),d\lambda
=\frac{2}{\pi}\int_{0}{\infty}\Bigl(\int_{0}{\infty}f(s)\sin(\lambda s),ds\Bigr)\frac{\sinh[\lambda(2-y)]}{\sinh(2\lambda)}\sin(\lambda x),d\lambda.$$