Resolva ux x+uy y=0 onde x>0 e 0, satisfaz as condições:
u(0, y)=0 u(x, 0)=f(x) u(x, 2)=0

Passo 1

A questão pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace uxx+uyy=0 na “meia-tira” x>0,,0, com condições de contorno u(0,y)=0, u(x,0)=f(x) e u(x,2)=0. Vamos usar a transformada seno em x para resolver.

Passo 2

Definimos a transformada seno de u(x,y) em x:
U(y,lambda)=integral0^inftyu(x,y)sin(lambda x),dx
Aplicando ao PDE, temos
partial^2Upartial y^2-lambda^2,U=0
A solução geral em y é
U(y,lambda)=A(lambda)e^lambda y+B(lambda)e^-lambda y

Passo 3

Em y=0 a condição u(x,0)=f(x)
$$U(0,\lambda)=\int_0^{\infty}f(x)\sin(\lambda x),dx=:F(\lambda).
U(0,lambda)=integral0^inftyf(x)sin(lambda x),dx=:F(lambda) U(2,\lambda)=A(\lambda)e{2\lambda}+B(\lambda)e{-2\lambda}=0$$
o que leva a
y=2

Passo 4

Substituindo em U(y,lambda) e impondo U(0,lambda)=F(lambda) obtemos
$$U(y,\lambda)=A\bigl(e^{\lambda y}-e{4\lambda}e{-\lambda y}\bigr),\qquad A(1-e^{4\lambda})=F(\lambda).
U(y,lambda)=Al(e^lambda y-e^4lambdae^-lambda yr), A(1-e^4lambda)=F(lambda) U(y,\lambda)=F(\lambda)\frac{e^{4\lambda-\lambda y}-e^{\lambda y}}{e^{4\lambda}-1}
=F(\lambda)\frac{\sinh[\lambda(2-y)]}{\sinh(2\lambda)}.$$

Passo 5

Finalmente, invertendo a transformada seno, obtemos
$$u(x,y)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}U(y,\lambda)\sin(\lambda x),d\lambda
=\frac{2}{\pi}\int_{0}{\infty}\Bigl(\int_{0}{\infty}f(s)\sin(\lambda s),ds\Bigr)\frac{\sinh[\lambda(2-y)]}{\sinh(2\lambda)}\sin(\lambda x),d\lambda.$$

Resposta

u(x,y)=2piintegral0^infty(integral0^inftyf(s)sin(lambda s),ds)sinhl(lambda(2-y)r)sinh(2lambda)sin(lambda x),dlambda

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