Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
2. sumn=1^infty n^2 e^-n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumn=1^infty n^2 e^-n converge ou diverge. O conteúdo é séries infinitas e vamos precisar usar testes de convergência (por exemplo, o teste da razão ou comparação com séries geométricas).

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão: definimos an = n^2 e^-n e calculamos L = limntoinfty |an+1an|.
Calculando a razão temos
an+1an = (n+1)^2 e^-(n+1)n^2 e^-n = (n+1)^2n^2cdot e^-1 = l(1+tfrac1nr)^2e

Passo 3

Tomando o limite quando ntoinfty
L = limntoinfty l(1+tfrac1nr)^2e = 1e < 1

Passo 4

Como no teste da razão temos L<1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 5

Opcionalmente, dá para ver por comparação: para n grande, n^2 <= e^n/2, então
n^2 e^-n <= e^-n/2,
e sum e^-n/2 é série geométrica com razão e^-1/2<1, logo converge. Assim, por comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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