Resolva:
Estude a existência do limite \lim _{z \rightarrow 0} \frac{(1+i) z}{|z|}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência do limite
\lim_{z\to 0}\frac{(1+i)z}{|z|}.
Informações dadas:
  • z é um número complexo e a expressão é \dfrac{(1+i)z}{|z|}.
  • |z| é o módulo de z; note que a expressão não está definida em z=0 (pois |0|=0), mas o limite é pedido quando z se aproxima de 0.
  • A tarefa é decidir se esse limite existe (i.e., tem um valor único) quando z tende a 0, e justificar a resposta.

Passo 2

Relembrando conceitos essenciais (de modo bem direto e prático):
  • Para z=x+iy, o módulo é |z|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Qualquer z\neq 0 pode ser escrito em forma polar como
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 e \theta=\arg z (o argumento de z). Aqui e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta.
  • Definição prática de limite complexo: \lim_{z\to 0} f(z)=L significa que, qualquer que seja o modo (direção/seqüência) pelo qual z se aproxima de 0, os valores f(z) tendem para o mesmo número complexo L. Uma maneira comum de mostrar que um limite não existe é encontrar duas maneiras de aproximar 0 que deem dois valores-limite diferentes.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão usando a forma polar. Tome z\neq 0 e escreva z=r e^{i\theta} com r=|z|>0. Então
\frac{(1+i)z}{|z|}=\frac{(1+i) r e^{i\theta}}{r}=(1+i)e^{i\theta}.
Explicando cada passo:
  • Dividi z por |z|: \dfrac{z}{|z|}=\dfrac{r e^{i\theta}}{r}=e^{i\theta}.
  • Multipliquei por (1+i) e obtive (1+i)e^{i\theta}.
    Portanto, para qualquer caminho que leve z a 0 mas com argumento \theta aproximando algum valor, a expressão tende a (1+i)e^{i\theta}.

Passo 4

Mostro que o limite depende da direção (do ângulo \theta), escolhendo duas direções simples:
  • Aproximação pelo eixo real positivo: tome z=t com t>0 e t\to 0^+. Aqui \theta=0, então
\frac{(1+i)z}{|z|}=(1+i)e^{i\cdot 0}=1+i.
Logo, ao aproximar-se por números reais positivos, a expressão tende a 1+i.
  • Aproximação pelo eixo imaginário positivo: tome z=it com t>0 e t\to 0^+. Aqui \theta=\tfrac{\pi}{2}, então
\frac{(1+i)z}{|z|}=(1+i)e^{i\pi/2}=(1+i)\,i.
Calculemos (1+i)\,i:
(1+i)i = i + i^2 = i - 1 = -1 + i.
Portanto, ao aproximar-se por números puramente imaginários positivos, a expressão tende a -1+i.

Passo 5

Como as duas maneiras de aproximar 0 deram limites diferentes ( 1+i e -1+i), não existe um único valor para o limite quando z\to 0. Pelo critério da unicidade do limite, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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