Resolva:
Estude a existência do limite
.
Estude a existência do limite
Passo 1
O enunciado pede para estudar a existência do limite
Informações dadas:
-
é um número complexo e a expressão é . -
é o módulo de ; note que a expressão não está definida em (pois ), mas o limite é pedido quando se aproxima de . - A tarefa é decidir se esse limite existe (i.e., tem um valor único) quando
tende a , e justificar a resposta.
Passo 2
Relembrando conceitos essenciais (de modo bem direto e prático):
- Para
, o módulo é . - Qualquer
pode ser escrito em forma polar como
onde
e
(o argumento de
). Aqui
.
- Definição prática de limite complexo:
significa que, qualquer que seja o modo (direção/seqüência) pelo qual se aproxima de , os valores tendem para o mesmo número complexo . Uma maneira comum de mostrar que um limite não existe é encontrar duas maneiras de aproximar que deem dois valores-limite diferentes.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão usando a forma polar. Tome
e escreva
com
. Então
Explicando cada passo:
- Dividi
por : . - Multipliquei por
e obtive .
Portanto, para qualquer caminho que levea mas com argumento aproximando algum valor, a expressão tende a .
Passo 4
Mostro que o limite depende da direção (do ângulo
), escolhendo duas direções simples:
- Aproximação pelo eixo real positivo: tome
com e . Aqui , então
Logo, ao aproximar-se por números reais positivos, a expressão tende a
.
- Aproximação pelo eixo imaginário positivo: tome
com e . Aqui , então
Calculemos
:
Portanto, ao aproximar-se por números puramente imaginários positivos, a expressão tende a
.
Passo 5
Como as duas maneiras de aproximar
deram limites diferentes (
e
), não existe um único valor para o limite quando
. Pelo critério da unicidade do limite, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.