Resolva:
Se
e
, calcule
;
Se
Passo 1
O enunciado dá a função
com as dependências
e pede para calcular
. Assim, as perguntas são: qual é a expressão de
em função de
(substituindo
) e qual é a sua derivada em relação a
? As informações relevantes são exatamente as três expressões acima para
.
Passo 2
Primeiro observe e simplifique
substituindo
. Calcule o primeiro termo:
Agora o segundo termo. Escrevendo
e substituindo,
Como
, temos
Portanto, a função
em termos de
fica
Passo 3
Explico rapidamente as regras que vou usar para derivar
:
- Regra da potência:
para qualquer . - Regra do produto: se
então . - Derivada da exponencial:
(aqui pode ser constante ou função simples como ).
Essas são suficientes porqueagora é soma de uma potência negativa de e do produto .
Passo 4
Derive o primeiro termo
pela regra da potência:
Passo 5
Agora derive o segundo termo
usando a regra do produto. Seja
e
.
Calcule e
:
Calcule
Aplicando a regra do produto,
Fatorando
fica
Passo 6
Some as derivadas dos dois termos para obter
:
Se desejar, pode também escrever expandido: