Resolva:
Se w=x \cdot y+\frac{y z}{\sqrt{x}}, \operatorname{com} x=\frac{e^{t}}{t}, y=\frac{e^{-t}}{t} e z=t^{2}, calcule \frac{\partial w}{\partial t};

Passo 1

O enunciado dá a função
w = x\cdot y + \frac{y z}{\sqrt{x}}
com as dependências
x=\frac{e^{t}}{t},\qquad y=\frac{e^{-t}}{t},\qquad z=t^{2},
e pede para calcular \frac{\partial w}{\partial t}. Assim, as perguntas são: qual é a expressão de w em função de t (substituindo x,y,z) e qual é a sua derivada em relação a t? As informações relevantes são exatamente as três expressões acima para x,y,z.

Passo 2

Primeiro observe e simplifique w substituindo x,y,z. Calcule o primeiro termo:
x\cdot y=\frac{e^{t}}{t}\cdot\frac{e^{-t}}{t}=\frac{e^{t}e^{-t}}{t^{2}}=\frac{1}{t^{2}}.
Agora o segundo termo. Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2} e substituindo,
\frac{y z}{\sqrt{x}}=\frac{e^{-t}}{t}\cdot t^{2}\cdot x^{-1/2}.
Como x^{-1/2}=\left(\frac{e^{t}}{t}\right)^{-1/2}=t^{1/2}e^{-t/2}, temos
\frac{y z}{\sqrt{x}}=\frac{e^{-t}}{t}\cdot t^{2}\cdot t^{1/2}e^{-t/2}=t^{3/2}e^{-3t/2}.
Portanto, a função w em termos de t fica
w(t)=\frac{1}{t^{2}}+t^{3/2}e^{-3t/2}.

Passo 3

Explico rapidamente as regras que vou usar para derivar w(t):
  • Regra da potência: \displaystyle\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1} para qualquer n.
  • Regra do produto: se u(t)v(t) então \displaystyle\frac{d}{dt}[u v]=u'v+uv'.
  • Derivada da exponencial: \displaystyle\frac{d}{dt}\bigl(e^{a t}\bigr)=a e^{a t} (aqui a pode ser constante ou função simples como -3/2).
    Essas são suficientes porque w(t) agora é soma de uma potência negativa de t e do produto t^{3/2}\cdot e^{-3t/2}.

Passo 4

Derive o primeiro termo \displaystyle\frac{1}{t^{2}}=t^{-2} pela regra da potência:
\frac{d}{dt}\left(t^{-2}\right)=-2t^{-3}=\,-\frac{2}{t^{3}}.

Passo 5

Agora derive o segundo termo \displaystyle t^{3/2}e^{-3t/2} usando a regra do produto. Seja u(t)=t^{3/2} e v(t)=e^{-3t/2}.
Calcule u' e v':
u'(t)=\frac{3}{2}t^{1/2}, \qquad v'(t)=\left(-\frac{3}{2}\right)e^{-3t/2}.
Aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3/2}e^{-3t/2}\bigr)=u'v+uv'=\frac{3}{2}t^{1/2}e^{-3t/2}+t^{3/2}\left(-\frac{3}{2}\right)e^{-3t/2}.
Fatorando \frac{3}{2}t^{1/2}e^{-3t/2} fica
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3/2}e^{-3t/2}\bigr)=\frac{3}{2}t^{1/2}e^{-3t/2}\bigl(1-t\bigr).

Passo 6

Some as derivadas dos dois termos para obter \dfrac{\partial w}{\partial t}:
\frac{\partial w}{\partial t}=-\frac{2}{t^{3}}+\frac{3}{2}t^{1/2}e^{-3t/2}\bigl(1-t\bigr).
Se desejar, pode também escrever expandido:
\frac{\partial w}{\partial t}=-\frac{2}{t^{3}}+\frac{3}{2}t^{1/2}e^{-3t/2}-\frac{3}{2}t^{3/2}e^{-3t/2}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial t}=-\frac{2}{t^{3}}+\frac{3}{2}t^{1/2}e^{-3t/2}\bigl(1-t\bigr).

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