Resolva:
Se
, com
e
, calcule
;
Se
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial
dado que
com as substituições
Ou seja,
é dada em função de
e
, que por sua vez dependem de
(e também de
); devemos diferenciar
em relação a
tratando
como constante. Aqui a pergunta é uma única: encontrar
em termos de
e
.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
com
e
, então a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) é
Explicando rápido: pequenas variações em
mudam
por meio das variações em
e em
; por isso somamos as contribuições
vezes a variação de
e
vezes a variação de
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais
e
. Diferenciando termo a termo:
- Para
, . - Para
, tratando como constante, . - Para
, como é função só de , .
Portanto
Agora em relação a
:
- Para
, . - Para
, . - Para
, .
Logo
Passo 4
Agora precisamos de
e
mantendo
fixo.
- Como
e é constante, . - Para
usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Com , Aqui e . Então
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da cadeia:
Podemos fatorar
para deixar mais enxuto:
Passo 6
Finalmente, se quisermos a expressão totalmente em termos de
e
, substituímos
e
. Observando que
, obtemos
Essa é a forma final explícita em
e
. Dá para expandir mais se quiser, mas essa forma já é clara e adequada para cálculo em prova.