Resolva:
Se z=x^{3}-3 x y+y^{3}, com x=r^{2}+2 t e y=r \cdot e^{t r}, calcule \frac{\partial z}{\partial r};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial \dfrac{\partial z}{\partial r} dado que
z = x^{3} - 3xy + y^{3},
com as substituições
x = r^{2} + 2t,\qquad y = r\,e^{tr}.
Ou seja, z é dada em função de x e y, que por sua vez dependem de r (e também de t); devemos diferenciar z em relação a r tratando t como constante. Aqui a pergunta é uma única: encontrar \dfrac{\partial z}{\partial r} em termos de r e t.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se z = z(x,y) com x = x(r,t) e y = y(r,t), então a derivada parcial de z em relação a r (mantendo t fixo) é
\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial r}.
Explicando rápido: pequenas variações em r mudam z por meio das variações em x e em y; por isso somamos as contribuições \partial z/\partial x vezes a variação de x e \partial z/\partial y vezes a variação de y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y. Diferenciando termo a termo:
  • Para x^{3}, \dfrac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2}.
  • Para -3xy, tratando y como constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(-3xy)=-3y.
  • Para y^{3}, como é função só de y, \dfrac{\partial}{\partial x}y^{3}=0.
    Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}-3y.
Agora em relação a y:
  • Para x^{3}, \dfrac{\partial}{\partial y}x^{3}=0.
  • Para -3xy, \dfrac{\partial}{\partial y}(-3xy)=-3x.
  • Para y^{3}, \dfrac{\partial}{\partial y}y^{3}=3y^{2}.
    Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=-3x+3y^{2}.

Passo 4

Agora precisamos de \dfrac{\partial x}{\partial r} e \dfrac{\partial y}{\partial r} mantendo t fixo.
  • Como x = r^{2}+2t e t é constante, \dfrac{\partial x}{\partial r} = 2r.
  • Para y = r\,e^{tr} usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Com y(r)=r\cdot e^{tr}, \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{d}{dr}(r)\cdot e^{tr} + r\cdot\frac{d}{dr}\big(e^{tr}\big).Aqui \dfrac{d}{dr}(r)=1 e \dfrac{d}{dr}(e^{tr}) = e^{tr}\cdot \dfrac{d}{dr}(tr) = e^{tr}\cdot t. Então \frac{\partial y}{\partial r}= e^{tr} + r\cdot e^{tr}\,t = e^{tr}\big(1+tr\big).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial r} = \big(3x^{2}-3y\big)\cdot 2r + \big(-3x+3y^{2}\big)\cdot e^{tr}\big(1+tr\big).
Podemos fatorar 3 para deixar mais enxuto:
\frac{\partial z}{\partial r} = 3\Big[2r\big(x^{2}-y\big) + \big(-x+y^{2}\big)e^{tr}\big(1+tr\big)\Big].

Passo 6

Finalmente, se quisermos a expressão totalmente em termos de r e t, substituímos x=r^{2}+2t e y=r e^{tr}. Observando que y^{2}=r^{2}e^{2tr}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial r} = 3\Bigg[2r\Big((r^{2}+2t)^{2}-r e^{tr}\Big) + \Big(- (r^{2}+2t) + r^{2}e^{2tr}\Big)\,e^{tr}\big(1+tr\big)\Bigg].
Essa é a forma final explícita em r e t. Dá para expandir mais se quiser, mas essa forma já é clara e adequada para cálculo em prova.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial r}=3\Bigg[2r\Big((r^{2}+2t)^{2}-r e^{tr}\Big)+\Big(- (r^{2}+2t)+r^{2}e^{2tr}\Big)e^{tr}\big(1+tr\big)\Bigg].

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