(ANPEC 2007) Sejam f_{1}, f_{2}, f_{3}: R \rightarrow R funções diferenciáveis tais que f_{1}(0)=-\sqrt{3} , f_{2}(0)=0 e f_{3}(0)=\sqrt{3}. Suponha ainda que para todo x \in R,
F\left(x, f_{1}(x)\right)=F\left(x, f_{2}(x)\right)=F\left(x, f_{3}(x)\right)=0,
em que F: R^{2} \rightarrow R é a função dada por F(x, y)=y^{3}-3 y-\operatorname{sen}(x).
Se \alpha=f_{1}^{\prime}(0) f_{2}^{\prime}(0) f_{3}^{\prime}(0), calcule o valor de m=|18+1 / \alpha|.

Passo 1

Dados do enunciado:
  • Existem funções diferenciáveis f_{1},f_{2},f_{3}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tais que, para todo x\in\mathbb{R},
F\bigl(x,f_{1}(x)\bigr)=F\bigl(x,f_{2}(x)\bigr)=F\bigl(x,f_{3}(x)\bigr)=0.
  • A função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é
F(x,y)=y^{3}-3y-\sin(x).
  • Valores iniciais dados:
f_{1}(0)=-\sqrt{3},\qquad f_{2}(0)=0,\qquad f_{3}(0)=\sqrt{3}.
O que o problema pede:
  • Seja \alpha=f_{1}^{\prime}(0)\,f_{2}^{\prime}(0)\,f_{3}^{\prime}(0). Calcular
m=\left|18+\frac{1}{\alpha}\right|.

Passo 2

Raciocínio geral (sem ainda calcular números): como cada f_i satisfaz F\bigl(x,f_i(x)\bigr)=0 e é diferenciável, podemos usar diferenciação implícita (regra da cadeia) para obter f_i'(x). A fórmula da diferenciação implícita para uma função F(x,y) e uma função implícita y=f(x) é
F_x(x,f(x)) + F_y(x,f(x))\,f'(x)=0,
onde F_x é a derivada parcial de F em relação a x e F_y é a derivada parcial de F em relação a y. Isolando f'(x) obtemos
f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F. Da definição F(x,y)=y^{3}-3y-\sin(x) temos:
F_x(x,y)=-\cos(x)
e
F_y(x,y)=3y^{2}-3=3\bigl(y^{2}-1\bigr).
Aplicando a fórmula do passo anterior,
f_i'(x)=-\frac{F_x\bigl(x,f_i(x)\bigr)}{F_y\bigl(x,f_i(x)\bigr)} =-\frac{-\cos x}{3\bigl(f_i(x)^{2}-1\bigr)} =\frac{\cos x}{3\bigl(f_i(x)^{2}-1\bigr)}.

Passo 4

Avaliar em x=0. Como \cos 0=1, temos para cada i
f_i'(0)=\frac{1}{3\bigl(f_i(0)^{2}-1\bigr)}.
Agora vamos substituir os valores conhecidos de f_i(0).

Passo 5

Cálculo de cada derivada em 0:
Para f_{1}: f_{1}(0)=-\sqrt{3} então f_{1}(0)^{2}=3. Logo
f_{1}'(0)=\frac{1}{3(3-1)}=\frac{1}{3\cdot 2}=\frac{1}{6}.
Para f_{3}: f_{3}(0)=\sqrt{3} também dá f_{3}(0)^{2}=3. Logo
f_{3}'(0)=\frac{1}{6}.
Para f_{2}: f_{2}(0)=0 então f_{2}(0)^{2}=0. Logo
f_{2}'(0)=\frac{1}{3(0-1)}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.

Passo 6

Calcular \alpha como produto das derivadas:
\alpha=f_{1}'(0)\,f_{2}'(0)\,f_{3}'(0) =\frac{1}{6}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{6} =-\frac{1}{108}.

Passo 7

Calcular m=\left|18+\dfrac{1}{\alpha}\right|. Primeiro \dfrac{1}{\alpha}=-108. Então
18+\frac{1}{\alpha}=18-108=-90,
e portanto
m=\left|-90\right|=90.

Resposta

90

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