(ANPEC 2007) Sejam f_{1}, f_{2}, f_{3}: R \rightarrow R funções diferenciáveis tais que f_{1}(0)=-\sqrt{3} , f_{2}(0)=0 e f_{3}(0)=\sqrt{3}. Suponha ainda que para todo x \in R,
em que F: R^{2} \rightarrow R é a função dada por F(x, y)=y^{3}-3 y-\operatorname{sen}(x).
Se \alpha=f_{1}^{\prime}(0) f_{2}^{\prime}(0) f_{3}^{\prime}(0), calcule o valor de m=|18+1 / \alpha|.
Passo 1
Dados do enunciado:
Existem funções diferenciáveis f_{1},f_{2},f_{3}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tais que, para todo x\in\mathbb{R},
Seja \alpha=f_{1}^{\prime}(0)\,f_{2}^{\prime}(0)\,f_{3}^{\prime}(0). Calcular
m=\left|18+\frac{1}{\alpha}\right|.
Passo 2
Raciocínio geral (sem ainda calcular números): como cada f_i satisfaz F\bigl(x,f_i(x)\bigr)=0 e é diferenciável, podemos usar diferenciação implícita (regra da cadeia) para obter f_i'(x). A fórmula da diferenciação implícita para uma função F(x,y) e uma função implícita y=f(x) é
F_x(x,f(x)) + F_y(x,f(x))\,f'(x)=0,
onde F_x é a derivada parcial de F em relação a x e F_y é a derivada parcial de F em relação a y. Isolando f'(x) obtemos
f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de F. Da definição F(x,y)=y^{3}-3y-\sin(x) temos: