- Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede encontrar o valor de
. Observações extraídas do enunciado:
- O lado esquerdo é a potência de base
com expoente (isto é, ); escrevo isso explicitamente como . - O lado direito é o número
. - A incógnita é
.
Passo 2
Entendendo o que significa uma potência: para números
e
, a expressão
representa o produto de
multiplicado por si mesmo
vezes quando
é inteiro positivo. Exemplo simples:
.
Uma propriedade essencial que usamos em problemas assim é: se e
e
Uma propriedade essencial que usamos em problemas assim é: se
então necessariamente
Isso acontece porque, para
, a função
é estritamente crescente (cada expoente diferente dá um valor diferente), e para
ela é estritamente decrescente — de qualquer forma, não existem dois expoentes distintos que produzam o mesmo valor quando a base é fixa e válida.
Passo 3
Método direto usando decomposição do
. Escrevo
como produto de fatores
:
Como peguei a informação do enunciado de que a base do lado esquerdo é
(ou seja, usei que o enunciado tinha
), posso igualar as potências com a mesma base:
Pela propriedade do passo anterior, como as bases são iguais e válidas, os expoentes devem ser iguais. Logo
Passo 4
Método alternativo (logaritmos) — útil quando não dá para escrever o número do lado direito como potência exata da base. Definição útil:
é o número tal que
Aplicando aqui,
Usando a fórmula de mudança de base e propriedades de logaritmo, por exemplo com log natural:
Como
, segue
Passo 5
Verificação rápida: substituir
na equação original:
o que é verdadeiro. Portanto a solução está correta.
Passo 6
Dica para a prova: sempre tente primeiro escrever o número do lado direito como potência da base (aqui deu fácil:
). Se não for possível, use logaritmos e a fórmula de mudança de base. Respire fundo — esse tipo de exercício é dos mais comuns e rápidos de resolver.