1. Resolva:
2^{\wedge} x=8

Passo 1

O enunciado dá a equação
2^{\wedge} x = 8
e pede encontrar o valor de x. Observações extraídas do enunciado:
  • O lado esquerdo é a potência de base 2 com expoente x (isto é, 2^x); escrevo isso explicitamente como \,2^x.
  • O lado direito é o número 8.
  • A incógnita é x.

Passo 2

Entendendo o que significa uma potência: para números a e b, a expressão a^b representa o produto de a multiplicado por si mesmo b vezes quando b é inteiro positivo. Exemplo simples: 2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 8.
Uma propriedade essencial que usamos em problemas assim é: se a>0 e a\neq1 e
a^u = a^v,
então necessariamente
u = v.
Isso acontece porque, para a>1, a função u\mapsto a^u é estritamente crescente (cada expoente diferente dá um valor diferente), e para 0<a<1 ela é estritamente decrescente — de qualquer forma, não existem dois expoentes distintos que produzam o mesmo valor quando a base é fixa e válida.

Passo 3

Método direto usando decomposição do 8. Escrevo 8 como produto de fatores 2:
8 = 2\cdot2\cdot2 = 2^3.
Como peguei a informação do enunciado de que a base do lado esquerdo é 2 (ou seja, usei que o enunciado tinha 2^{\wedge} x), posso igualar as potências com a mesma base:
2^x = 2^3.
Pela propriedade do passo anterior, como as bases são iguais e válidas, os expoentes devem ser iguais. Logo
x = 3.

Passo 4

Método alternativo (logaritmos) — útil quando não dá para escrever o número do lado direito como potência exata da base. Definição útil: \log_a b é o número tal que
a^{\log_a b} = b.
Aplicando aqui,
x = \log_2 8.
Usando a fórmula de mudança de base e propriedades de logaritmo, por exemplo com log natural:
x = \frac{\ln 8}{\ln 2}.
Como \ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2, segue
x = \frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3.

Passo 5

Verificação rápida: substituir x=3 na equação original:
2^3 = 8,
o que é verdadeiro. Portanto a solução está correta.

Passo 6

Dica para a prova: sempre tente primeiro escrever o número do lado direito como potência da base (aqui deu fácil: 8=2^3). Se não for possível, use logaritmos e a fórmula de mudança de base. Respire fundo — esse tipo de exercício é dos mais comuns e rápidos de resolver.

Resposta

x=3

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