- Dada
a) Determine o domínio
b) Calcule os zeros
a) Determine o domínio
b) Calcule os zeros
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
a) determinar o domínio de ;
b) calcular os zeros de .
a) determinar o domínio de
b) calcular os zeros de
Informações relevantes que temos:
- A função é uma fração em que o numerador é
e o denominador é . - Em funções racionais, devemos prestar atenção a pontos onde o denominador é zero porque nesses pontos a função não está definida.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? Domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define
faz sentido (ou seja, gera um número real válido). Para uma expressão fracionária como
, a única restrição típica é que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida.
Portanto, para achar o domínio de
devemos encontrar quais
fazem
e excluir esses valores do domínio.
Passo 3
Calcular onde o denominador é zero:
Resolvendo,
Isso significa que em
a função não está definida. Todos os outros
reais são permitidos.
Logo, o domínio é "todos os reais exceto
". Em notação de conjuntos e em notação de intervalos:
Passo 4
Agora: o que é um “zero” da função? Um zero de
é um valor
tal que
. Para uma fração
, essa igualdade só pode ocorrer quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero naquele mesmo
). Em outras palavras, resolvemos o sistema:
Então para
devemos resolver
e verificar que o resultado não anula
.
Passo 5
Resolver o numerador igual a zero:
Subtraindo
dos dois lados:
Verificar o denominador em
:
Como o denominador não é zero em
, esse valor pertence ao domínio e de fato é um zero da função.
Passo 6
Conclusão sobre os zeros: o único zero é
. Em forma de conjunto, o conjunto de zeros é
. Não há outros zeros porque o numerador é uma reta
que se anula em único ponto
.
Passo 7
Dica rápida para a prova (muito prática): sempre que tiver
, encontre as raízes de
para excluir do domínio; encontre as raízes de
e então verifique se alguma dessas raízes coincide com uma raiz de
. Se coincidir, há um buraco removível (ponto não pertencente ao domínio) e esse valor não é zero da função definida — atenção a isso. No nosso caso não houve coincidência, então
é um zero válido.
Resposta
a)
b)
b)