1. Dada f(x)=(x+1) /(x-2)
    a) Determine o domínio
    b) Calcule os zeros

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{x+1}{x-2} e pede duas coisas:
a) determinar o domínio de f;
b) calcular os zeros de f.
Informações relevantes que temos:
  • A função é uma fração em que o numerador é x+1 e o denominador é x-2.
  • Em funções racionais, devemos prestar atenção a pontos onde o denominador é zero porque nesses pontos a função não está definida.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? Domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (ou seja, gera um número real válido). Para uma expressão fracionária como \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}, a única restrição típica é que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida.
Portanto, para achar o domínio de f(x)=\dfrac{x+1}{x-2} devemos encontrar quais x fazem x-2=0 e excluir esses valores do domínio.

Passo 3

Calcular onde o denominador é zero:
x-2=0.
Resolvendo,
x=2.
Isso significa que em x=2 a função não está definida. Todos os outros x reais são permitidos.
Logo, o domínio é "todos os reais exceto 2". Em notação de conjuntos e em notação de intervalos:
\text{Domínio}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq2\} = (-\infty,2)\cup(2,\infty).í

Passo 4

Agora: o que é um “zero” da função? Um zero de f é um valor x tal que f(x)=0. Para uma fração \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}, essa igualdade só pode ocorrer quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero naquele mesmo x). Em outras palavras, resolvemos o sistema:
\text{numerador}=0\quad\text{e}\quad\text{denominador}\neq0.
Então para f(x)=\dfrac{x+1}{x-2} devemos resolver x+1=0 e verificar que o resultado não anula x-2.

Passo 5

Resolver o numerador igual a zero:
x+1=0.
Subtraindo 1 dos dois lados:
x=-1.
Verificar o denominador em x=-1:
x-2 = -1-2 = -3 \neq 0.
Como o denominador não é zero em x=-1, esse valor pertence ao domínio e de fato é um zero da função.

Passo 6

Conclusão sobre os zeros: o único zero é x=-1. Em forma de conjunto, o conjunto de zeros é \{-1\}. Não há outros zeros porque o numerador é uma reta x+1 que se anula em único ponto x=-1.

Passo 7

Dica rápida para a prova (muito prática): sempre que tiver \dfrac{P(x)}{Q(x)}, encontre as raízes de Q(x) para excluir do domínio; encontre as raízes de P(x) e então verifique se alguma dessas raízes coincide com uma raiz de Q(x). Se coincidir, há um buraco removível (ponto não pertencente ao domínio) e esse valor não é zero da função definida — atenção a isso. No nosso caso não houve coincidência, então x=-1 é um zero válido.

Resposta

a) \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq2\} = (-\infty,2)\cup(2,\infty)
b) \{-1\}

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