- Dada
a) Calcule
b) Diga se é crescente ou decrescente
a) Calcule
b) Diga se é crescente ou decrescente
Passo 1
O enunciado dá a função
. As perguntas são:
- (a) Calcular
. - (b) Dizer se a função é crescente ou decrescente.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a exponencial de base
, isto é, para cada temos . - Não há outras restrições (domínio implícito é
, a menos que o enunciado diga o contrário).
Passo 2
Entendendo o que significa
(revisão básica de potências).
- Para inteiro positivo
, significa multiplicar por si mesmo vezes. Ex.: . - A regra geral das potências que vamos usar é: para quaisquer expoentes
vale
Essa regra vem da definição de potência como multiplicação repetida e é a ferramenta chave para estender a definição a expoentes especiais como
e negativos.
Passo 3
Por que
.
- Use a propriedade acima com
e :
Mas
. Logo
Dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero) obtém-se
Portanto
.
Passo 4
Calcular
.
- Pela definição básica de potência,
é simplesmente (multiplicar por si mesmo uma vez dá ).
Passo 5
Calcular
.
- Usando multiplicação:
.
(Segundo a regra
.)
Passo 6
Intuição rápida com exemplos para fixar:
- Já temos
. - Para ver comportamento ao esquerda, por exemplo
. Isso mostra que à medida que o aumenta, os valores crescem (de para para para ) — já dá uma pista de que é crescente.
Passo 7
Prova matemática simples de que
é crescente (para todo
).
- Tome
e com . Então . - Usando a propriedade das potências:
- Como
e a base , temos . Portanto
- Assim, sempre que
vale . Isso é a definição de função crescente: argumentos maiores geram valores maiores. Logo é crescente em todo o seu domínio.
(Como comentário adicional: se a base fosse um número entre
e
, a desigualdade reversa ocorreria e a função seria decrescente. Mas aqui a base é
.)
Resposta
A função