1. Dada \mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{\wedge} \mathrm{x}
    a) Calcule f(0), f(1), f(2)
    b) Diga se é crescente ou decrescente

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{\wedge}\mathrm{x}. As perguntas são:
  • (a) Calcular f(0),\; f(1),\; f(2).
  • (b) Dizer se a função é crescente ou decrescente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a exponencial de base 2, isto é, para cada x temos f(x)=2^{x}.
  • Não há outras restrições (domínio implícito é \mathbb{R}, a menos que o enunciado diga o contrário).

Passo 2

Entendendo o que significa 2^{x} (revisão básica de potências).
  • Para inteiro positivo n, 2^{n} significa multiplicar 2 por si mesmo n vezes. Ex.: 2^{2}=2\cdot2.
  • A regra geral das potências que vamos usar é: para quaisquer expoentes a,b vale
2^{a+b}=2^{a}\cdot 2^{b}.
Essa regra vem da definição de potência como multiplicação repetida e é a ferramenta chave para estender a definição a expoentes especiais como 0 e negativos.

Passo 3

Por que 2^{0}=1.
  • Use a propriedade acima com a=1 e b=0:
2^{1+0}=2^{1}\cdot 2^{0}.
Mas 2^{1+0}=2^{1}. Logo
2^{1}=2^{1}\cdot 2^{0}.
Dividindo ambos os lados por 2^{1} (que é diferente de zero) obtém-se
2^{0}=1.
Portanto f(0)=2^{0}=1.

Passo 4

Calcular f(1).
  • Pela definição básica de potência, 2^{1} é simplesmente 2 (multiplicar 2 por si mesmo uma vez dá 2).
f(1)=2^{1}=2.

Passo 5

Calcular f(2).
  • Usando multiplicação: 2^{2}=2\cdot2.
f(2)=2^{2}=4.
(Segundo a regra 2^{2}=2^{1+1}=2^{1}\cdot2^{1}=2\cdot2=4.)

Passo 6

Intuição rápida com exemplos para fixar:
  • Já temos f(0)=1,\; f(1)=2,\; f(2)=4.
  • Para ver comportamento ao esquerda, por exemplo f(-1)=2^{-1}=\dfrac{1}{2}. Isso mostra que à medida que o x aumenta, os valores crescem (de 1/2 para 1 para 2 para 4) — já dá uma pista de que é crescente.

Passo 7

Prova matemática simples de que f(x)=2^{x} é crescente (para todo x\in\mathbb{R}).
  • Tome x e y com x<y. Então y-x>0.
  • Usando a propriedade das potências:
2^{y}=2^{x+(y-x)}=2^{x}\cdot 2^{y-x}.
  • Como y-x>0 e a base 2>1, temos 2^{y-x}>1. Portanto
2^{y}=2^{x}\cdot 2^{y-x}>2^{x}\cdot 1=2^{x}.
  • Assim, sempre que x<y vale 2^{x}<2^{y}. Isso é a definição de função crescente: argumentos maiores geram valores maiores. Logo f é crescente em todo o seu domínio.
(Como comentário adicional: se a base fosse um número entre 0 e 1, a desigualdade reversa ocorreria e a função seria decrescente. Mas aqui a base é 2>1.)

Resposta

f(0)=1,\; f(1)=2,\; f(2)=4
A função f(x)=2^{x} é crescente.

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