Um líquido dever ser purificado por decantação através de um filtro cônico circular invertido com 20 cm de altura e raio de 5 cm no topo. Se o líquido escoa para fora do cone a uma taxa constante de
, determine a taxa que a profundidade do líquido estará variando no instante em que a profundidade for 8 cm .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um filtro em forma de cone circular invertido de altura
e raio da boca
. Chamamos de
a profundidade do líquido no cone e de
o raio da superfície livre. O volume de líquido é
O líquido escoa para fora a uma taxa constante de
Queremos determinar
no instante em que
. O conteúdo matemático envolve semelhança de triângulos, substituição em volume e derivação implícita (taxas relacionadas).
Passo 2
Pela semelhança entre o triângulo gerado pela água e o triângulo total do cone, temos
Passo 3
Substituindo
na fórmula do volume, obtemos
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação a
, temos
Passo 5
No instante considerado
e
. Logo,