(2,0) Um líquido dever ser purificado por decantação através de um filtro cônico circular invertido com 20 cm de altura e raio de 5 cm no topo. Se o líquido escoa para fora do cone a uma taxa constante de 2 cm^3 / min, determine a taxa que a profundidade do líquido estará variando no instante em que a profundidade for 8 cm .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um filtro em forma de cone circular invertido de altura ,20,cm e raio da boca ,5,cm. Chamamos de h(t) a profundidade do líquido no cone e de r(t) o raio da superfície livre. O volume de líquido é
V=13pi r^2h
O líquido escoa para fora a uma taxa constante de
dVdt=-2;cm^3/min
Queremos determinar ,dh/dt no instante em que h=8,cm. O conteúdo matemático envolve semelhança de triângulos, substituição em volume e derivação implícita (taxas relacionadas).

Passo 2

Pela semelhança entre o triângulo gerado pela água e o triângulo total do cone, temos
rh=520Longrightarrow r=h4

Passo 3

Substituindo r=tfrach4 na fórmula do volume, obtemos
V=13pil(h4r)^2h =pi,h^348

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a t, temos
dVdt =ddtl(pi,h^348r) =pi48cdot 3h^2dhdt =pi,h^216,dhdt

Passo 5

No instante considerado h=8,cm e ,dV/dt=-2. Logo,
-2 =pi,(8)^216,dhdt =64pi16,dhdt =4pi,dhdt Longrightarrow dhdt =-24pi =-12pi;cm/min

Resposta

dhdt=-12pi,cm/min

Exercícios relacionados