Resolva para x : (aqui log x=log 10 x )
log (x^2-1)-log (x+1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação log(x^2 -1) - log(x+1) = 1. A matéria que vamos usar aqui é de logaritmos, especificamente propriedades de logaritmos e resolução de equações exponenciais. Para isso, vamos precisar lembrar que:
  1. A diferença de logaritmos, como log A - log B, pode ser escrita como o logaritmo da divisão: log(AB).
  2. Para resolver equações logarítmicas, muitas vezes transformamos a equação em uma forma exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando a propriedade da diferença de logaritmos. Assim:
log(x^2 - 1x + 1) = 1

Passo 3

Agora, vamos transformar a equação logarítmica em exponencial. Sabemos que log10 A = B é equivalente a 10^B = A. Aplicando isso:
10^1 = x^2 - 1x + 1
Então:
10 = x^2 - 1x + 1

Passo 4

Vamos resolver essa equação para x. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por (x + 1) para eliminar a fração:
10(x + 1) = x^2 - 1
Desenvolvendo:
10x + 10 = x^2 - 1

Passo 5

Agora, deixamos tudo do mesmo lado para formar uma equação quadrática:
x^2 - 10x - 11 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. A equação está na forma ax^2 + bx + c = 0, onde:
  • a = 1
  • b = -10
  • c = -11
A fórmula de Bhaskara é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot (-11)2 cdot 1
x = 10 pm raiz100 + 442
x = 10 pm raiz1442
x = 10 pm 122

Passo 7

Calculando as duas possibilidades:
  1. x = 10 + 122 = 222 = 11
  2. x = 10 - 122 = -22 = -1

Passo 8

Precisamos verificar se as soluções fazem sentido na equação original, ou seja, se os valores de x não deixam os logaritmos indefinidos:
  • Para x = 11:
    • x^2 -1 = 121 -1 = 120 > 0
    • x +1 = 12 > 0
    • Válido
  • Para x = -1:
    • x +1 = 0, e log(0) não está definido.
    • Inválido

Resposta

A única solução válida é x = 11.

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