Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 :
(b) n^2+18 <= n^3

Passo 1

O enunciado pede para achar o menor inteiro positivo n0 tal que
n^2 + 18 <= n^3
para todo inteiro n>= n0, e em seguida usar indução (estendida) para mostrar que, a partir de n0, a desigualdade vale para todo n>= n0.

Passo 2

Testamos valores inteiros positivos:
n=1:;1^2+18=19not<=1^3=1, n=2:;2^2+18=22not<=2^3=8, n=3:;3^2+18=27<=3^3=27
Logo, o menor n0 que funciona é n0=3.

Passo 3

Base da indução: para n=3 temos
3^2+18=27<=27=3^3,
logo a propriedade vale em n=3.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que, para algum k>=3,
k^2+18<= k^3
Queremos mostrar
(k+1)^2+18<= (k+1)^3
Observe que
(k+1)^2+18 =k^2+2k+1+18 =k^2+2k+19
e, pela hipótese de indução k^2<= k^3-18, segue
k^2+2k+19 <= (k^3-18)+2k+19 =k^3+2k+1
Portanto basta verificar
k^3+2k+1<= (k+1)^3 =k^3+3k^2+3k+1,
isto é,
0<=3k^2+k,
o que é claro para todo k>=0 em particular para k>=3. Assim o passo indutivo está provado.

Resposta

O menor inteiro positivo é n0=3, e por indução estendida concluímos que
n^2+18<= n^3 para todo inteiro n>=3

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