Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo
para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para achar o menor inteiro positivo
tal que
para todo inteiro
, e em seguida usar indução (estendida) para mostrar que, a partir de
, a desigualdade vale para todo
.
Passo 2
Testamos valores inteiros positivos:
Logo, o menor
que funciona é
.
Passo 3
Base da indução: para
temos
logo a propriedade vale em
.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que, para algum
,
Queremos mostrar
Observe que
e, pela hipótese de indução
, segue
Portanto basta verificar
isto é,
o que é claro para todo
em particular para
. Assim o passo indutivo está provado.
Resposta
O menor inteiro positivo é
, e por indução estendida concluímos que